Question

5．如圖，AB為⊙O的直徑，AC、AD為⊙O的弦，$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，過C作⊙O的切線交AB的延長線于E，DB的延長線交CE于F，若⊙O的半徑為2，∠E=45°，則CF的長為4-2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 連接半徑OC，由切線性質(zhì)得：∠OCE=90°，則△OCE是等腰直角三角形，由勾股定理計(jì)算OE的長，證明∠EBF=∠EFB，則BE=EF=2$\sqrt{2}$-2，從而得出CF的長．

解答 解：連接OC、BC，
∵$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，
∴∠BAC=∠DAB，
∵EC是⊙O的切線，
∴∠OCE=90°，
∵∠E=45°，
∴△OCE是等腰直角三角形，
∴OC=CE=2，∠COE=45°，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠ACO=22.5°，
∴∠DAB=22.5°，
即∠DAC=22.5°+22.5°=45°，
∵A、D、B、C四點(diǎn)共圓，
∴∠CBF=∠DAC=45°，
∵∠BCF=∠ACO=22.5°，
∴∠BFE=22.5°+45°=67.5°，
△BFE中，∠FBE=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴∠EBF=∠EFB，
∴BE=EF，
Rt△OCE中，OE=2$\sqrt{2}$，
∴BE=AO+OE-AB=2+2$\sqrt{2}$-4=2$\sqrt{2}$-2，
∴EF=BE=2$\sqrt{2}$-2，
∴CF=CE-EF=2-（2$\sqrt{2}$-2）=4-2$\sqrt{2}$，
故答案為：4-2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)、四點(diǎn)共圓的性質(zhì)、等腰直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理，利用角的大小關(guān)系得出線段的關(guān)系，并根據(jù)勾股定理列等式計(jì)算邊的長，從而使問題得以解決．