Question

7．已知：⊙O的半徑為5，點(diǎn)C在直徑AB上，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的弦DE⊥AB，過(guò)點(diǎn)D作直線 EB的垂線DF，垂足為點(diǎn)F，設(shè)AC=x，EF=y．
（1）如圖，當(dāng)AC=1時(shí)，求線段EB的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)點(diǎn)F在線段EB上時(shí)，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出定義域；
（3）如果EF=3BF，求線段AC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接AE，易證△EBC∽△ABE，所以BE²=BC•AB，把BC和AB的長(zhǎng)度代入即可求出BE的長(zhǎng)度；
（2）利用△EBC∽△ABE與△ACE∽△ECB，可求出BE與CE的長(zhǎng)度，然后再證明△DEF∽△BEC，利用對(duì)應(yīng)邊的比相等即可得出y與x的函數(shù)解析式；
（3）若EF=3BF，需要分情況討論，①當(dāng)點(diǎn)F在線段EB上；②當(dāng)點(diǎn)F在EB的延長(zhǎng)線上．

解答 解：（1）連接AE，
由題意知：AB=10，
∴BC=AB-AC=9，
∵AB是⊙O直徑，
∴∠AEB=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠ECB=90°，
∵∠CBE=∠ABE，
∴△EBC∽△ABE，
∴$\frac{BE}{AB}$=$\frac{BC}{BE}$，
∴BE²=BC•AB，
∴BE=3$\sqrt{10}$；

（2）當(dāng)點(diǎn)F在線段EB上時(shí)，由題意知：AC=x，
∴BC=10-x，
∵DE⊥AB，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{AE}$，
∴∠AEC=∠ABE，
∴△ACE∽△ECB，
∴$\frac{CE}{AC}=\frac{BC}{CE}$，
∴CE²=AC•BC，
∴CE=$\sqrt{x（10-x）}$，
由垂徑定理可知：DE=2CE=2$\sqrt{x（10-x）}$，
由（1）可知：BE²=BC•AB，
∴BE=$\sqrt{10（10-x）}$，
∵DF⊥EB，
∴∠DFE=∠ECB=90°，
又∵∠DEB=∠DEB，
∴△DEF∽△BEC，
∴$\frac{EF}{CE}=\frac{DE}{EB}$，
∴$\frac{y}{\sqrt{x（10-x）}}=\frac{2\sqrt{x（10-x）}}{\sqrt{10（10-x）}}$，
∴y=$\frac{x\sqrt{100-10x}}{5}$（0＜x≤5）；

（3）如圖 1，當(dāng)點(diǎn)F在線段BE上時(shí)，
∵EF=3BF，
∴4EF=3BE，
由（2）可知，4y=3$\sqrt{10（10-x）}$，
∴x=$\frac{15}{4}$，
∴AC=$\frac{15}{4}$，

當(dāng)點(diǎn)F在EB的延長(zhǎng)線上時(shí)，
連接OE，
∴OC=x-5，BC=10-x，
∴由勾股定理可知：OE²-OC²=BE²-BC²，
∴BE=$\sqrt{100-10x}$，
∵EF=3BF，
∴$\frac{EB}{EF}=\frac{2}{3}$，
∴BE=$\frac{2}{3}$y，
∴y=$\frac{3\sqrt{100-10x}}{2}$，
由垂徑定理可知：DE=2CE，
∵∠DFE=∠ECB=90°，
∠DEB=∠DEB，
∴△EBC∽△EDF，
∴$\frac{BE}{DE}$=$\frac{CE}{EF}$，
∴$\frac{2}{3}$y²=2（-x²+10x），
化簡(jiǎn)得：4x²-70x+300=0，
∴解得：x=10（不符合題意，舍去）或x=$\frac{15}{2}$，
∴AC=$\frac{15}{2}$
綜上所述，當(dāng)EF=3BF，AC的長(zhǎng)為$\frac{15}{4}$或$\frac{15}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的綜合問(wèn)題，涉及勾股定理、垂徑定理、函數(shù)關(guān)系式，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，綜合程度較高，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力．