Question

1．已知：如圖所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動．
（1）如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，那么幾秒后，△PBQ的面積等于4cm²？
（2）如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，那么幾秒后，PQ的長度等于2$\sqrt{10}$cm？
（3）在（1）中，△PQB的面積能否等于7cm²？說明理由．

Answer 1

分析 （1）經(jīng)過x秒鐘，△PBQ的面積等于4cm²，根據(jù)點P從A點開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從B點開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動，表示出BP和BQ的長可列方程求解；
（2）利用勾股定理列出方程求解即可；
（3）令S_△PQB=7，根據(jù)三角形的面積公式列出方程，再根據(jù)b²-4ac得出原方程沒有實數(shù)根，從而得出△PQB的面積不能等于7cm²．

解答 解：（1）設(shè)經(jīng)過x秒以后△PBQ面積為4cm²，根據(jù)題意得$\frac{1}{2}$（5-x）×2x=4，
整理得：x²-5x+4=0，
解得：x=1或x=4（舍去）．
答：1秒后△PBQ的面積等于4cm²；

（2）PQ=2$\sqrt{10}$，則PQ²=BP²+BQ²，即40=（5-t）²+（2t）²，
解得：t=0（舍去）或3．
則3秒后，PQ的長度為2$\sqrt{10}$cm．

（3）令S_△PQB=7，即BP×$\frac{BQ}{2}$=7，（5-t）×$\frac{2t}{2}$=7，
整理得：t²-5t+7=0，
由于b²-4ac=25-28=-3＜0，
則原方程沒有實數(shù)根，
所以在（1）中，△PQB的面積不能等于7cm²．

點評 此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用以及勾股定理的應(yīng)用，找到關(guān)鍵描述語“△PBQ的面積等于4cm²”“PQ的長度等于2$\sqrt{10}$cm”，得出等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．