Question

17．如圖，直線y=$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿折線AB-BO以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s），△PAO面積為S（cm²）．（坐標(biāo)軸的單位長度為cm）
（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)O距離最小時(shí)，求S的值；
（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，求S與t之間的函數(shù)表達(dá)式；
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)幾秒后，△PAO面積為2cm²？

Answer 1

分析 （1）連接OP，當(dāng)OP⊥AB時(shí)，OP最小，利用等積法可求得OP的長，可求得S；
（2）當(dāng)P點(diǎn)在線段AB上時(shí)，△PAO可以看成以AP為底，則高為O到線段AB的距離，可表示出S；當(dāng)P在線段BO上時(shí)，△PAO可以看成以AO為底，則OP為高，可表示出S，可得到S與t的函數(shù)表達(dá)式；
（3）利用（2）中所求表達(dá)式，令S=2，可求得相應(yīng)的t的值．

解答 解：（1）由題意可求得A（-2，0），B（0，2$\sqrt{3}$），
∴OA=2，OB=2$\sqrt{3}$，由勾股定理可求得AB=4，
連接OP，如圖1，則當(dāng)OP⊥AB時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)O的距離最小，

∵S_△AOB=$\frac{1}{2}$AB•OP=$\frac{1}{2}$OA•OB，
∴OP=$\sqrt{3}$，
在Rt△AOP中，由勾股定理可求得AP=1，
∴S_△AOP=$\frac{1}{2}$AP•OP=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）當(dāng)P在線段AB上時(shí)，即0≤t≤4時(shí)，如圖2，連接OP，過O作OC⊥AB于點(diǎn)C，

則△PAO可以看成以AP為底，高為OC，
∵AP=t，且由（1）可知OC=$\sqrt{3}$，
∴S=$\frac{1}{2}$AP•OC=$\frac{1}{2}$t•$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t；
當(dāng)P在線段BO上時(shí)，即4＜t≤4+2$\sqrt{3}$時(shí)，如圖3，連接AP，

則PO=4+2$\sqrt{3}$-t，且AO=2，
∴S=$\frac{1}{2}$AO•OP=$\frac{1}{2}$×2×（4+2$\sqrt{3}$-t）=4+2$\sqrt{3}$-t；
綜上可知S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}t（0≤t≤4）}\\{4+2\sqrt{3}-t（4＜t≤4+2\sqrt{3}）}\end{array}\right.$；
（3）由（2）當(dāng)0≤t≤4時(shí)，令S=2，即$\frac{\sqrt{3}}{2}t$=2，解得t=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
當(dāng)4＜t≤4+2$\sqrt{3}$，令S=2，即4+2$\sqrt{3}$-t=2，解得t=2+2$\sqrt{3}$，
∴當(dāng)P運(yùn)動(dòng)$\frac{4\sqrt{3}}{3}$秒或2+2$\sqrt{3}$秒時(shí)，△PAO面積為2cm²．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一次函數(shù)綜合，涉及勾股定理、三角形的面積、函數(shù)表達(dá)式和分類討論等知識(shí)點(diǎn)．在（1）中確定出P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵，在（2）中分P在線段AB和線段OB上兩種情況是解題的關(guān)鍵．本題所考查知識(shí)點(diǎn)比較基礎(chǔ)，題目難度不大．