Question

6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知Rt△AOB的兩條直角邊OA、OB分別在y軸和x軸上，并且OA、OB的長分別是方程x²-7x+12=0的兩根（OA＜OB），動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)O運(yùn)動；同時，動點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動的時間為t秒．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）求當(dāng)t為何值時，△APQ與△AOB相似，并直接寫出此時點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
（3）當(dāng)t=2時，在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在點(diǎn)M，使以A、P、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）解方程可求得OA、OB的長，容易求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）由勾股定理可求得AB，用t可表示出AP、QB、AQ的長，分△APQ∽△AOB和△APQ∽△ABO兩種情況，可分別求得t的值，再利用三角函數(shù)可求得Q的坐標(biāo)；
（3）由t=2可先求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)，分AP為邊和對角線兩種情況，由平行四邊形的性質(zhì)可求得QM=AP或AM=PQ，可分別求得M的坐標(biāo)．

解答 解：（1）解方程x²-7x+12=0，得x₁=3，x₂=4，
∵OA＜OB，∴OA=3，OB=4，
∴A（0，3），B（4，0）；
（2）在Rt△AOB中，OA=3，OB=4，∴AB=5，∴AP=t，QB=2t，AQ=5-2t．
△APQ與△AOB相似，可能有兩種情況：
①△APQ∽△AOB，如圖（1）所示．

則有$\frac{AP}{AO}$=$\frac{AQ}{AB}$，即$\frac{t}{3}$=$\frac{5-2t}{5}$，解得t=$\frac{15}{11}$．
此時OP=OA-AP=$\frac{18}{11}$，PQ=AP•tanA=$\frac{20}{11}$，
∴Q（$\frac{20}{11}$，$\frac{18}{11}$）；
②△APQ∽△ABO，如圖（2）所示．

則有$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AQ}{AO}$，即$\frac{t}{5}$=$\frac{5-2t}{3}$，解得t=$\frac{25}{13}$．
此時AQ=$\frac{15}{13}$，AH=AQ•cosA=$\frac{9}{13}$，HQ=AQ•sinA=$\frac{12}{13}$，OH=OA-AH=$\frac{30}{13}$，
∴Q（$\frac{12}{13}$，$\frac{30}{13}$）．
綜上所述，當(dāng)t=$\frac{15}{11}$秒或t=$\frac{25}{13}$秒時，△APQ與△AOB相似，
所對應(yīng)的Q點(diǎn)坐標(biāo)分別為（$\frac{20}{11}$，$\frac{18}{11}$）或（$\frac{12}{13}$，$\frac{30}{13}$）；
（3）結(jié)論：存在．如圖（3）所示．

∵t=2，∴AP=2，AQ=1，OP=1．
過Q點(diǎn)作QE⊥y軸于點(diǎn)E，則QE=AQ•sin∠QAP=$\frac{4}{5}$，AE=AQ•cos∠QAP=$\frac{3}{5}$，
∴OE=OA-AE=$\frac{12}{5}$，
∴Q（$\frac{4}{5}$，$\frac{12}{5}$）．
∵?APQM₁，∴QM₁⊥x軸，且QM₁=AP=2，∴M₁（$\frac{4}{5}$，$\frac{2}{5}$）；
∵?APQM₂，∴QM₂⊥x軸，且QM₂=AP=2，∴M₂（$\frac{4}{5}$，$\frac{22}{5}$）；
如圖（3），過M₃點(diǎn)作M₃F⊥y軸于點(diǎn)F，
∵?AQPM₃，∴M₃P=AQ，∠QAE=∠M₃PF，∴∠PM₃F=∠AQE；
在△M₃PF與△QAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠{M}_{3}PF=∠QAE}\\{{M}_{3}P=AQ}\\{∠P{M}_{3}F=∠AQE}\end{array}\right.$，
∴△M₃PF≌△QAE（ASA），
∴M₃F=QE=$\frac{4}{5}$，PF=AE=$\frac{3}{5}$，∴OF=OP+PF=$\frac{8}{5}$，∴M₃（-$\frac{4}{5}$，$\frac{8}{5}$）．
∴當(dāng)t=2時，在坐標(biāo)平面內(nèi)，存在點(diǎn)M，使以A、P、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
點(diǎn)M的坐標(biāo)為：M₁（$\frac{4}{5}$，$\frac{2}{5}$）或M₂（$\frac{4}{5}$，$\frac{22}{5}$）或M₃（-$\frac{4}{5}$，$\frac{8}{5}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及一元二次方程、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角函數(shù)、平行四邊形的性質(zhì)等知識點(diǎn)．在（1）中解出方程容易求得A、B坐標(biāo)，在（2）中注意分兩種情況討論，在（3）中注意平行四邊形平行的兩邊是分類的依據(jù)．本題考查知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大．