Question

4．如圖，在邊長為$\sqrt{3}$+1的菱形ABCD中，∠A=60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，沿EF折疊菱形，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)G處，且EG⊥BD于點(diǎn)M，則EG的長為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 首先連接AC，在Rt△ABO中，求出AO的長度，進(jìn)而求出AC的長度是多少；然后根據(jù)EG⊥BD，AC⊥BD，可得EG∥AC，所以$\frac{EG}{AC}=\frac{BE}{AB}$，據(jù)此求出EG的長為多少即可．

解答 解：如圖1，連接AC，交BD于點(diǎn)O，，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC=2AO，
∵∠A=60°，
∴∠BAO=30°，
∴AO=AB•cos30°=（$\sqrt{3}$+1）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，
∴AC=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$×2=3$+\sqrt{3}$，
∵沿EF折疊菱形，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)G處，
∴EG=AE，
∵EG⊥BD，AC⊥BD，
∴EG∥AC，
∴$\frac{EG}{AC}=\frac{BE}{AB}$，
又∵EG=AE，
∴$\frac{EG}{3+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}+1-EG}{\sqrt{3}+1}$，
解得EG=$\sqrt{3}$，
∴EG的長為$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 （1）此題主要考查了翻折變換問題，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．
（2）此題還考查了菱形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②菱形的四條邊都相等；③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線．