Question

15．如圖，直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A（6，0）、B（0，3），P是線段AB上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)P與A、B不重合），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0）．
（1）求直線AB所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．
（2）設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），△PAC的面積為S．
①當(dāng)PC=PO時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
②寫出S與m的函數(shù)關(guān)系式及自變量m的取值范圍，并求出使S_△PAC=S_△PBO時點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可求得一次函數(shù)的解析式；
（2）①當(dāng)PC=PO時，點(diǎn)P在CO的垂直平分線上，則P的橫坐標(biāo)即可求得，代入直線解析式求得縱坐標(biāo)；
②根據(jù)三角形的面積公式即可用m表示出S_△PAC和S_△PBO，即可列方程求得m的值，進(jìn)而求得P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)直線AB所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{6k+b=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線AB所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=-$\frac{1}{2}$x+3；
（2）①∵PC=PO，
∴點(diǎn)P在CO的垂直平分線上，
又∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0），
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)m=2，
∵點(diǎn)P在直線y=-$\frac{1}{2}$x+3上，

∴n=2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）；
②∵P（m，n）在y=-$\frac{1}{2}$x+3上，則-$\frac{1}{2}$m+3=n，
∴S=$\frac{1}{2}$OC•n=$\frac{1}{2}$×4×（-$\frac{1}{2}$m+3），
即S=-$\frac{1}{2}$m+3（0＜m＜6）．
S_△PBO=$\frac{1}{2}$OB•m=$\frac{1}{2}$×3m，
又∵S_△PAC=S_△PBO，
∴-$\frac{1}{2}$m+3=$\frac{1}{2}$×3m，
解得：m=$\frac{3}{2}$．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{4}$）．

點(diǎn)評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及三角形的面積公式，用m表示出S_△PAC和S_△PBO是關(guān)鍵．