Question

5．如圖，在△ABC中，AB=AC=6，AD⊥BC，D為垂足，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B落在線段AD上的點(diǎn)B′處，A′B′交AC于E，∠B=75°，那么B′E的長為6-3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BD=CD，∠B=∠ACB=75°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CB=CB′，∠A′B′C=∠A′CB′=∠B=75°，A′B′=A′C=AC=6，接著在Rt△CDB′中利用余弦的定義可求出∠DCB′=60°，則可計(jì)算出∠ACB′=15°，所以∠A′EC=∠EB′C+∠ECB′=90°，∠A′CE=60°，然后在Rt△A′EC中利用∠A′CE的正弦可計(jì)算出A′E=3$\sqrt{3}$，再利用B′E=A′B′-A′E進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：∵AB=AC=6，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠B=∠ACB=75°，
∵△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C，
∴CB=CB′，∠A′B′C=∠A′CB′=∠B=75°，A′B′=A′C=AC=6，
在Rt△CDB′中，∵cos∠DCB′=$\frac{CD}{CB′}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠DCB′=60°，
∴∠ACB′=∠ACB-∠DCB′=75°-60°=15°，
∴∠A′EC=∠EB′C+∠ECB′=75°+15°=90°，∠A′CE=75°-15°=60°，
在Rt△A′EC中，∵sin∠A′CE=sin60°=$\frac{A′E}{A′C}$，
∴A′E=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×6=3$\sqrt{3}$，
∴B′E=A′B′-A′E=6-3$\sqrt{3}$．
故答案為=6-3$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了解直角三角形．