Question

如圖①，A，B，C三點在一直線上，分別以AB、BC為邊在AC同側(cè)作等邊△ABD和等邊△BCE，AE交BD于點F，DC交BE于點G．

（1）判斷AE=DC，BF=BG是否成立，并說明理由；
（2）如圖②，若A，B，C不在同一直線上，那么這時上述結論成立嗎？若成立請證明；
（3）判斷△BFG的形狀，并說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：常規(guī)題型

分析：（1）易證△ABE≌△DBC，可得∠BDC=∠BAE，AE=DC，可證△BAF≌△BDG，可得BF=BG；
（2）AE=DC，但BF≠BG．
（3）根據(jù)等邊三角形判定方法判定．

解答：解：（1）∵△ABD、△BCE都是等邊三角形
∴AB=BD，BE=BC，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABE=∠CBD，
在△ABE和△DBC中，

AB=BD ∠ABE=∠CBE BE=EC

，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴AE=DC．∠BDC=∠BAE 
在△BAF和△BDG中，

∠BDC=∠BAE AB=DB ∠ABF=∠DBG

，
∴△BAF≌△BDG（ASA），
∴BF=BG．
（2）AE=DC，但BF≠BG．
理由①AE=DC．
∵△ABD和等邊△BCE，
∴AB=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABD+∠DBE=∠CBE+∠DBE，
即∠ABE=∠CBD，
在△ABE和△DBC中，

AB=BD ∠ABE=∠CBE BE=EC

，
∴△ABE≌△DBC（SAS）．
∴AE=DC（全等三角形對應邊相等），
∠BAE=∠BDC（全等三角形對應角相等）．
②BF≠BG．
理由：若BG=BF，由（1）可知△ABE≌△DBC，
∴∠BAF=∠BDG，
又AB=DB
則△ABF與△DBG有兩邊和一邊的對角對應相等．
∴∠ABF=∠DBG或∠ABG+∠DBG=180°（不合題意，舍去）
∴△ABF≌△DBG（SAS）．
∴∠ABF=∠DBG=60°（全等三角形對應角相等）．
∴∠ABF=∠DBG=60°=∠CBE，
所以A、B、C在同一條直線上，這與題意A、B、C不在同一直線上矛盾，
∴BF≠BG．
（3）∵BF=BG，∠FBG=60°
∴∠BFG=∠BGF=∠FBG=60°
∴△BFG為等邊三角形．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)；證明線段不相等是比較獨特的，要注意掌握．