Question

15．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，點(diǎn)P為BC邊上任意一點(diǎn)，連接PA，以PA，PC為鄰邊作?PAQC，連接PQ，則PQ的最小值為$\frac{12}{5}$．

Answer 1

分析 以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，由平行四邊形的性質(zhì)可知O是AC中點(diǎn)，PQ最短也就是PO最短，所以應(yīng)該過(guò)O作BC的垂線P′O，然后根據(jù)△P′OC和△ABC相似，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出PQ的最小值．

解答 解：∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴BC=$\sqrt{A{C}^{2}+A{B}^{2}}$=5，
∵四邊形APCQ是平行四邊形，
∴PO=QO，CO=AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴過(guò)O作BC的垂線OP′，
∵∠ACB=∠P′CO，∠CP′O=∠CAB=90°，
∴△CAB∽△CP′O，
∴$\frac{CO}{BC}$=$\frac{OP′}{AB}$，
∴$\frac{2}{5}$=$\frac{OP′}{3}$，
∴OP′=$\frac{6}{5}$，
∴則PQ的最小值為2OP′=$\frac{12}{5}$，
故答案為：$\frac{12}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理的運(yùn)用、平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及垂線段最短的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是做高線各種相似三角形．