Question

18．如圖，在平面直角坐標系中A（-2，0）、B（0，1），AB=AC，且∠BAC=90°．
（1）求C點坐標；
（2）將△ABC沿x軸的正方向平移，在第一象限內(nèi)B、C兩點的對應點B′、C′正好落在某反比例函數(shù)圖象上．請求出這個反比例函數(shù)和此時的直線B′C′的解析式；
（3）在（2）的條件下，直線B′C′交y軸于點G．問是否存在x軸上的點M和反比例函數(shù)圖象上的點P，使得四邊形PGMC′是平行四邊形？如果存在，請求出點M和點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）作CN⊥x軸于點N，通過角的計算得出∠NAC=∠OBA，結(jié)合相等的直角以及AC=AB即可證出Rt△CNA≌Rt△AOB（AAS），進而得出ON和CN的長度，此題得解；
（2）設反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{k}{x}$，C′（c，2），根據(jù)平移的性質(zhì)結(jié)合點B、C的坐標即可得出點B′的坐標，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可得出關(guān)于k、c的二元一次方程組，解方程組即可得出k、c值，由此即可得出反比例函數(shù)解析式與點B′、C′坐標，根據(jù)點B′、C′坐標利用待定系數(shù)法即可求出直線B′C′的解析式；
（3）假設存在，根據(jù)直線B′C′的解析式即可求出點G的坐標，設點M（t，0），根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得出點P的坐標，再利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可得出關(guān)于t的分式方程，解方程即可得出t值，將t值代入點M、P的坐標即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）作CN⊥x軸于點N，如圖1所示．
∵∠BAC=90°，
∴∠NAC+∠OAB=90°，
∵∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠NAC=∠OBA．
在Rt△CNA和Rt△AOB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CNA=∠AOB}\\{∠NAC=∠OBA}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴Rt△CNA≌Rt△AOB（AAS），
∴AN=BO=1，NO=NA+AO=3，CN=AO=2，
∴C點坐標為（-3，2）．
（2）設反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{k}{x}$，
∵C（-3，2），B（0，1），
∴設C′（c，2），則B′（c+3，1）．
∵點B′和C′在反比例函數(shù)圖象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=2c}\\{k=c+3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{k=6}\end{array}\right.$，
∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{6}{x}$．
∵c=3，
∴C′（3，2），B′（6，1），
設直線B′C′的解析式為y=mx+n，
則$\left\{\begin{array}{l}{2=3m+n}\\{1=6m+n}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{3}}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直線B′C′的解析式位y=-$\frac{1}{3}$x+3．
（3）假設存在，
令y=-$\frac{1}{3}$x+3中x=0，則y=3，
∴G（0，3），
設點M（t，0），則P（0+3-t，3+2-0），即（3-t，5），
∵點P在反比例函數(shù)y=$\frac{6}{x}$的圖象上，
∴5=$\frac{6}{3-t}$，解得：t=$\frac{9}{5}$，
經(jīng)檢驗t=$\frac{9}{5}$是方程5=$\frac{6}{3-t}$的解，
∴M（$\frac{9}{5}$，0），P（$\frac{6}{5}$，5）．
故存在x軸上的點M和反比例函數(shù)圖象上的點P，使得四邊形PGMC′是平行四邊形，點M的坐標為（$\frac{9}{5}$，0），點P的坐標為（$\frac{6}{5}$，5）．

點評 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、全等三角形的判定與性質(zhì)以及解分式方程，解題的關(guān)鍵是：（1）求出ON和CN的長度；（2）利用反比例函數(shù)圖象上的坐標特征找出關(guān)于k、c的二元一次方程組；（3）利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征找出關(guān)于t的分式方程．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征找出方程（或方程組）是關(guān)鍵．