Question

11．（1）解分式方程：$\frac{1-x}{x-2}$+2=$\frac{1}{2-x}$；
（2）化簡(jiǎn)分式：$\frac{1-x}{x-2}$+2-$\frac{1}{2-x}$，結(jié)果可能為0嗎？
（3）問(wèn)題（1）與問(wèn)題（2）有什么聯(lián)系？請(qǐng)根據(jù)你的認(rèn)識(shí)嘗試解釋分式方程產(chǎn)生增根的原因．

Answer 1

分析 （1）解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗(yàn)；④得出結(jié)論；據(jù)此求出分式方程：$\frac{1-x}{x-2}$+2=$\frac{1}{2-x}$的解即可；
（2）由（1），可得分式方程：$\frac{1-x}{x-2}$+2=$\frac{1}{2-x}$無(wú)解，所以$\frac{1-x}{x-2}$+2-$\frac{1}{2-x}$=0無(wú)解，因此化簡(jiǎn)分式：$\frac{1-x}{x-2}$+2-$\frac{1}{2-x}$，結(jié)果不可能為0，據(jù)此解答即可；
（3）由分式方程：$\frac{1-x}{x-2}$+2=$\frac{1}{2-x}$無(wú)解，可得化簡(jiǎn)分式：$\frac{1-x}{x-2}$+2-$\frac{1}{2-x}$，結(jié)果不可能為0；反之，也成立；增根的產(chǎn)生的原因：對(duì)于分式方程，當(dāng)分式中，分母的值為零時(shí)，無(wú)意義，所以分式方程，不允許未知數(shù)取哪些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件．當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會(huì)出現(xiàn)增根．

解答 解：（1）∵$\frac{1-x}{x-2}$+2=$\frac{1}{2-x}$，
∴（1-x）+2（x-2）=-1，
∴x-2=0，
解得x=2，
∵x-2≠0，
∴x≠2，
∴x=2不是方程的解，
∴分式方程：$\frac{1-x}{x-2}$+2=$\frac{1}{2-x}$無(wú)解；

（2）∵分式方程：$\frac{1-x}{x-2}$+2=$\frac{1}{2-x}$無(wú)解，
∴$\frac{1-x}{x-2}$+2-$\frac{1}{2-x}$=0無(wú)解，
∴化簡(jiǎn)分式：$\frac{1-x}{x-2}$+2-$\frac{1}{2-x}$，結(jié)果不可能為0．

（3）由分式方程：$\frac{1-x}{x-2}$+2=$\frac{1}{2-x}$無(wú)解，可得化簡(jiǎn)分式：$\frac{1-x}{x-2}$+2-$\frac{1}{2-x}$，結(jié)果不可能為0；反之，也成立；
增根的產(chǎn)生的原因：對(duì)于分式方程，當(dāng)分式中，分母的值為零時(shí)，無(wú)意義，所以分式方程，不允許未知數(shù)取哪些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件．當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會(huì)出現(xiàn)增根．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了分式方程的求解，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗(yàn)；④得出結(jié)論．
（2）此題還考查了增根的定義，以及增根的產(chǎn)生的原因，還有檢驗(yàn)增根的方法，要熟練掌握．