Question

1．當(dāng)某一面積S關(guān)于某一線(xiàn)段x是一次函數(shù)時(shí)，則稱(chēng)S是關(guān)于x的奇特面積．如圖，∠BAC=45°，點(diǎn)D在AC邊上，且DA=2．點(diǎn)P，Q同時(shí)從D點(diǎn)出發(fā)，分別沿射線(xiàn)DC、射線(xiàn)DA運(yùn)動(dòng)，P點(diǎn)的運(yùn)行速度是Q點(diǎn)的$\sqrt{2}$倍，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)A時(shí)，點(diǎn)P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)Q作AC的垂線(xiàn)段QR，使QR=PQ，連接PR．設(shè)QD=x，△PQR和∠BAC重疊部分的面積為S，請(qǐng)問(wèn)S是否存在關(guān)于x的奇特面積？若存在，求奇特面積S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 分兩種情形求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)S是關(guān)于x的奇特面積作出判斷即可解決問(wèn)題．

解答 解：存在，理由如下：
當(dāng)點(diǎn)R在AB上時(shí)，∵∠A=45°，RQ⊥AC，
∴AQ=RQ=PQ，
∴2-x=x+$\sqrt{2}$x，
∴x=2-$\sqrt{2}$，
①當(dāng)0＜x$≤2-\sqrt{2}$時(shí)如圖1中，S=$\frac{1}{2}$PQ²=$\frac{1}{2}$（3+2$\sqrt{2}$）x²，

②當(dāng)2-$\sqrt{2}$＜x≤2時(shí)，如圖2中，

∵RQ⊥AC，RQ=PQ，
∴∠R=∠RPQ=45°，
∵∠A=45°，
∴∠A+∠RPQ=90°，
∴∠AFP=90°=∠EFR，
∵RE=RQ-EQ=（1+$\sqrt{2}$）x-（2-x），
∴S=S_△PQR-S_△EFR=$\frac{1}{2}$（3+2$\sqrt{2}$）²-$\frac{1}{4}$[（1+$\sqrt{2}$）x-（2-x）]²=（2+$\sqrt{2}$）x-1．
綜上所述，當(dāng)2-$\sqrt{2}$＜x≤2，S=（2+$\sqrt{2}$）x-1是一次函數(shù)，
∴當(dāng)2-$\sqrt{2}$＜x≤2，S是關(guān)于x的奇特面積．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一次函數(shù)綜合題、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)分類(lèi)討論求出S與x的函數(shù)關(guān)系，屬于中考?jí)狠S題．