Question

2．如圖1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直線l經(jīng)過點(diǎn)A，過B、C兩點(diǎn)分別作直線l的垂線段，垂足分別為D、E．

（1）求證：AE=BD；
（2）點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，連接DO、EO，如圖2，試判斷△ODE的形狀？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)同角的余角相等求出∠BAD=∠ACE，然后利用“角角邊”證明△ABD和△CAE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可；
（2）連接AO，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AO=BO，∠CAO=45°，∠AOB=90°，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ABD=∠CAE，然后求出∠OAE=∠OBD，再利用“邊角邊”證明△AOE和△BOD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得OE=OD，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠AOE=∠BOD，然后求出∠DOE=90°，再根據(jù)等腰直角三角形的定義證明．

解答 （1）證明：∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵CE⊥直線l，
∴∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BAD=∠ACE，
∵BD⊥直線l，CE⊥直線l，
∴∠ADB=∠CEA=90°，
在△ABD和△CAE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠ACE}\\{∠ADB=∠CEA=90°}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AE=BD；

（2）△ODE是等腰直角三角形．
理由如下：如圖，連接AO，
∵AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，
∴AO=BO，∠CAO=45°，∠AOB=90°，
∵△ABD≌△CAE，
∴∠ABD=∠CAE，
∴∠ABD-∠ABO=∠CAE-∠CAO，
∵∠ABO=∠CAO=45°，
∴∠OAE=∠OBD，
在△AOE和△BOD中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=BD}\\{∠OAE=∠OBD}\\{AO=BO}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△BOD（SAS），
∴OE=OD，∠AOE=∠BOD，
∴∠DOE=∠BOE+∠BOD=∠BOE+∠AOE=∠AOB=90°，
∴△ODE是等腰直角三角形．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，同角的余角相等的性質(zhì)，難點(diǎn)在于（2）作輔助線構(gòu)造出全等三角形并利用等腰直角三角形的性質(zhì)．