Question

8．如圖，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E 點(diǎn)，∠ADC+∠B=180°．
（1）求證：BC=CD；
（2）2AE=AB+AD．

Answer 1

分析 （1）過(guò)C作CF⊥AD于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得：CF=CE，根據(jù)AAS證明△FDC≌△EBC可得結(jié)論；
（2）由（1）中的全等得：DF=BE，證明Rt△AFC≌Rt△AEC，得AE=AF，根據(jù)線段的和與差得出結(jié)論．

解答 證明：（1）過(guò)C作CF⊥AD于F，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，
∴CF=CE，
∵∠ADC+∠CBE=180°，∠ADC+∠FDC=180°，
∴∠CBE=∠FDC，
在△FDC和△EBC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠CFD=∠CEB=90°}\\{∠FDC=∠CBE}\\{FC=CE}\end{array}\right.$，
∴△FDC≌△EBC（AAS），
∴CD=BC；
（2）∵△FDC≌△EBC，
∴DF=BE，
在Rt△AFC和Rt△AEC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=AC}\\{CF=CE}\end{array}\right.$，
∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL），
∴AF=AE，
∴AB+AD=AE+BE+AD=AE+DF+AD=AE+AF=2AE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定、角平分線的性質(zhì)，注意利用角平分線性質(zhì)時(shí)，必須是到角兩邊的垂線段相等，本題是�？碱}型，難度不大，在證明線段的和與差時(shí)，要將線段根據(jù)圖形中分成和與差，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等作等量代換，從而得出結(jié)論．