Question

已知拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（3，0）、點(diǎn)B（-1，0）、點(diǎn)C（0，-3），點(diǎn)M是拋物線上的頂點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AM上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A、M重合），PN垂直x軸于點(diǎn)N．
（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）求直線AM的解析式；
（3）若設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，四邊形BCPN的面積為S，寫出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（4）當(dāng)x為何值時(shí)，S有最大值，最大值是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）直接利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，進(jìn)而利用配方法求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）利用（1）中所求，再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可；
（3）分別表示出S_△BOC=

1

2

×1×3=

3

2

，S_{四邊形OCPN}=

1

2

（6-2x+3）×x=-x²+

9

2

x，進(jìn)而得出S與x的函數(shù)關(guān)系，利用M，A點(diǎn)坐標(biāo)得出x的取值范圍；
（4）利用配方法求出二次函數(shù)最值即可．

解答：解：（1）設(shè)拋物線解析式為：y=ax²+bx+c，將點(diǎn)A（3，0）、點(diǎn)B（-1，0）、點(diǎn)C（0，-3）代入得出：

9a+3b+c=0 a-b+c=0 c=-3

，
解得：

a=1 b=-2 c=-3

．
故拋物線解析式為：y=x²-2x-3；
y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
則M點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，-4）．

（2）設(shè)直線AM的解析式為：y=kx+d，
將A，M點(diǎn)代入得出：

3k+d=0 k+d=-4

，
解得：

k=2 b=-6

．
故直線AM的解析式為：y=2x-6；

（3）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，四邊形BCPN的面積為S，
∵PN垂直x軸于點(diǎn)N，
∴NO=x，PN=-y=6-2x，
∴S_△BOC=

1

2

×1×3=

3

2

，
S_{四邊形OCPN}=

1

2

（6-2x+3）×x=-x²+

9

2

x
故S與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=S_△BOC+S_{四邊形OCPN}=-x²+

9

2

x+

3

2

，
自變量x的取值范圍是：1＜x＜3；

（4）由（2）得：S=-x²+

9

2

x+

3

2

=-（x²-

9

2

x）+

3

2

=-（x-

9

4

）²+

105

16

，
故當(dāng)x=

9

4

時(shí)，S有最大值，最大值是

105

16

．

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及求一次函數(shù)解析式和四邊形面積求法和二次函數(shù)最值求法，注意表示出PN的長是解題關(guān)鍵．