Question

14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+1交y軸于點(diǎn)A，交x軸正半軸于點(diǎn)B（4，0），與過A點(diǎn)的直線相交于另一點(diǎn)D（3，$\frac{5}{2}$），過點(diǎn)D作DC⊥x軸，垂足為C．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P在線段OC上（不與點(diǎn)O、C重合），過P作PN⊥x軸，交直線AD于M，交拋物線于點(diǎn)N，連接CM，求△PCM面積的最大值；
（3）若P是x軸正半軸上的一動點(diǎn)，設(shè)OP的長為t，是否存在t，使以點(diǎn)M、C、D、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把B（4，0），點(diǎn)D（3，$\frac{5}{2}$）代入y=ax²+bx+1即可得出拋物線的解析式；
（2）先用含t的代數(shù)式表示P、M坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式求出△PCM的面積與t的函數(shù)關(guān)系式，然后運(yùn)用配方法可求出△PCM面積的最大值；
（3）若四邊形DCMN為平行四邊形，則有MN=DC，故可得出關(guān)于t的二元一次方程，解方程即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）把點(diǎn)B（4，0），點(diǎn)D（3，$\frac{5}{2}$），代入y=ax²+bx+1中得，$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b+1=0}\\{9a+3b+1=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{4}}\\{b=\frac{11}{4}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的表達(dá)式為y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{11}{4}$x+1；
（2）設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，
∵A（0，1），D（3，$\frac{5}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{3k+b=\frac{5}{2}}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直線AD的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+1，
設(shè)P（t，0），
∴M（t，$\frac{1}{2}$t+1），
∴PM=$\frac{1}{2}$t+1，
∵CD⊥x軸，
∴PC=3-t，
∴S_△PCM=$\frac{1}{2}$PC•PM=$\frac{1}{2}×$（3-t）（$\frac{1}{2}$t+1），
∴S_△PCM=-$\frac{1}{4}$t²+$\frac{1}{4}$t+$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{4}$（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{25}{16}$，
∴△PCM面積的最大值是$\frac{25}{16}$；
（3）∵OP=t，
∴點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)為t，
設(shè)M（t，$\frac{1}{2}$t+1），N（t，-$\frac{3}{4}$t²+$\frac{11}{4}$t+1），
∴|MN|=|-$\frac{3}{4}$t²+$\frac{11}{4}$t+1-$\frac{1}{2}$t-1|=|-$\frac{3}{4}$t²+$\frac{9}{4}$t|，CD=$\frac{5}{2}$，
如圖1，如果以點(diǎn)M、C、D、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
∴MN=CD，即-$\frac{3}{4}$t²+$\frac{9}{4}$t=$\frac{5}{2}$，
∵△=-39，
∴方程-$\frac{3}{4}$t²+$\frac{9}{4}$t=$\frac{5}{2}$無實(shí)數(shù)根，
∴不存在t，
如圖2，如果以點(diǎn)M、C、D、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
∴MN=CD，即$\frac{3}{4}$t²-$\frac{9}{4}$t=$\frac{5}{2}$，
∴t=$\frac{9+\sqrt{201}}{6}$，（負(fù)值舍去），
∴當(dāng)t=$\frac{9+\sqrt{201}}{6}$時，以點(diǎn)M、C、D、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

點(diǎn)評 本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、平行四邊形的判定，正確求出二次函數(shù)的解析式、利用配方法把一般式化為頂點(diǎn)式、求出函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵，注意菱形的判定定理的靈活運(yùn)用．