Question

如圖，是一塊學生用的直角三角板ABC，其中∠A=30°，斜邊AB=8cm，里面空心△DEF的各邊與△ABC的對應邊平行，且各對應邊間的距離都是1cm，延長DE交BC于點M，延長FE交AB于點N．
（1）判斷四邊形EMBN的形狀，并說明理由；
（2）求△DEF的周長．

Answer 1

考點：相似三角形的應用,位似變換

專題：

分析：（1）根據(jù)空心△DEF的各邊與△ABC的對應邊平行直接得到兩組對邊平行，用平行四邊形的定義判定平行四邊形即可；
（2）連接BE，作EH⊥BC，F(xiàn)M⊥BC，即可求得EF的長，則在直角△DEF中，即可解得DE，DF的長，從而求得三角形的周長．

解答：解：（1）∵空心△DEF的各邊與△ABC的對應邊平行，
∴EM∥BN，EN∥MB，
∴四邊形EMBN是平行四邊形；

（2）連接BE，作EH⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，則CG=1cm．
∵直角△ABC中，∠A=30°，
∴BC=

1

2

AB=

1

2

×8=4．
∵E到AB與到BC的距離相等，
∴BE平分∠ABC．
∴∠EBN=30°
在直角△BHE中，tan∠EBH=

EH

BH

．
∴BH=

EH

tan30°

=

3

EH=

3

．
∴EF=NG=4-BH-CG=4-

3

-1=3-

3

．
在直角△DEF中，∠D=30°，
∴DE=2EF=6-2

3

，
DF=

3

EF=3

3

-3．
∴△DEF的周長是EF+DE+DF=3-

3

+6-2

3

+3

3

-3=6．

點評：本題考查了相似三角形的應用及含30°銳角的直角三角形的性質(zhì)，關鍵是作出輔助線求得EF的長．