Question

18．如圖，⊙O的直徑AB=4，AC是弦，將⊙O沿AC折疊，折疊后$\widehat{AC}$交AB于點(diǎn)D．
（1）設(shè)BD=x，用關(guān)于x的代數(shù)式表示弦AC的長(zhǎng)．
（2）若要使$\widehat{CD}$=60°，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）作輔助線，構(gòu)建一個(gè)新的圓P，與圓O是等圓，則半徑相等為2，根據(jù)勾股定理表示PH、OH、OP的長(zhǎng)，再證明△ACB∽△PHO，得$\frac{AC}{PH}=\frac{AB}{PO}$，代入可求得結(jié)論；
（2）根據(jù)弧的度數(shù)是所對(duì)圓心角的度數(shù)，得圓周角∠CAB=30°，根據(jù)特殊的三角函數(shù)值列式求得x的長(zhǎng)．

解答 解：（1）設(shè)折疊后的$\widehat{AmC}$的圓心為P，
由折疊得：⊙O與⊙P是等圓，
∴AP=$\frac{1}{2}$AB=2，
∵BD=x，則AD=4-x，
∴AH=DH=$\frac{4-x}{2}$=2-$\frac{x}{2}$，OH=OA-AH=2-（2-$\frac{x}{2}$）=$\frac{x}{2}$，
過(guò)P作PH⊥AB于H，連接PO、BC、PC、PA，
∴PH²=PA²-AH²=2²-（2-$\frac{x}{2}$）²=2x-$\frac{1}{4}{x}^{2}$，
OP²=$\frac{1}{4}{x}^{2}$+2x-$\frac{1}{4}{x}^{2}$=2x，
∵OP⊥AC，
∴∠PMA=90°，
∴∠PMA=∠AHP，
∴∠BAC=∠HPO，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠PHO，
∴△ACB∽△PHO，
∴$\frac{AC}{PH}=\frac{AB}{PO}$，
∴$\frac{AC}{\sqrt{2x-\frac{1}{4}{x}^{2}}}$=$\frac{4}{\sqrt{2x}}$，
∴AC=$\sqrt{16-2x}$；
（2）當(dāng)$\widehat{CD}$=60°時(shí)，∠CAB=30°，
cos30°=$\frac{AM}{AO}$，
$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\frac{\sqrt{16-2x}}{2}}{2}$，
x=2，
∴BD=2．

點(diǎn)評(píng) 本題是折疊問(wèn)題，折疊前后的圖形全等，則新的圓P與圓O是等圓，根據(jù)勾股定理和半徑的關(guān)系列式，又利用了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的兩條��；及它得出的推論，要熟練掌握，在圓的證明中經(jīng)常運(yùn)用；本題與三角函數(shù)結(jié)合使問(wèn)題得以解決．