Question

17．如圖，已知拋物線C₁：y=a₁x²+b₁x+c₁和C₂：y=a₂x²+b₂x+c₂都經(jīng)過原點(diǎn)，頂點(diǎn)分別為A，B，與x軸的另一交點(diǎn)分別為M，N，如果點(diǎn)A與點(diǎn)B，點(diǎn)M與點(diǎn)N都關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱，則稱拋物線C₁和C₂為姐妹拋物線，請(qǐng)你寫出一對(duì)姐妹拋物線C₁和C₂，使四邊形ANBM恰好是矩形，你所寫的一對(duì)拋物線解析式是y=-$\sqrt{3}$x²+2$\sqrt{3}$x和y=$\sqrt{3}$x²+2$\sqrt{3}$x（答案不唯一）．

Answer 1

分析 連接AB，根據(jù)姐妹拋物線的二次項(xiàng)的系數(shù)互為相反數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)相等且不等于零，常數(shù)項(xiàng)都是零，設(shè)拋物線C₁的解析式為y=ax²+bx，
根據(jù)四邊形ANBM恰好是矩形可得△AOM是等邊三角形，設(shè)OM=2，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，$\sqrt{3}$），求出拋物線C₁的解析式，從而求出拋物線C₂的解析式．

解答 解：連接AB，
根據(jù)姐妹拋物線的定義，可得姐妹拋物線的二次項(xiàng)的系數(shù)互為相反數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)相等且不等于零，常數(shù)項(xiàng)都是零，
設(shè)拋物線C₁的解析式為y=ax²+bx，
根據(jù)四邊形ANBM恰好是矩形可得：OA=OM，
∵OA=MA，
∴△AOM是等邊三角形，
設(shè)OM=2，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，$\sqrt{3}$），
則$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}=a+b}\\{0=4a+2b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\sqrt{3}}\\{b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$
則拋物線C₁的解析式為y=-$\sqrt{3}$x²+2$\sqrt{3}$x，
拋物線C₂的解析式為y=$\sqrt{3}$x²+2$\sqrt{3}$x，
故答案為：y=-$\sqrt{3}$x²+2$\sqrt{3}$x，y=$\sqrt{3}$x²+2$\sqrt{3}$x（答案不唯一）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，用到的知識(shí)點(diǎn)是姐妹拋物線的定義、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、矩形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)姐妹拋物線的定義得出姐妹拋物線的二次項(xiàng)的系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系．