Question

1．如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-$\sqrt{3}$，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，1），將△AOB繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△A'OB'，A'B'恰好過點(diǎn)B，則B'的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），重疊部分△BOE的面積為$\frac{\sqrt{3}}{8}$．

Answer 1

分析 過點(diǎn)B′作B′F⊥x軸于點(diǎn)F，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得OB=OB′=1、∠AOA′=∠BOB′=60°即∠BOE=∠B′OF=30°，在Rt△B′OF中，根據(jù)三角函數(shù)求得OF、B′F可得點(diǎn)B′坐標(biāo)；根據(jù)題意可得∠ABO=60°，繼而可得∠OEB=90°，再求得OE、BE，從而得出△BOE的面積．

解答 解：過點(diǎn)B′作B′F⊥x軸于點(diǎn)F，

根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：OB=OB′=1，∠AOA′=∠BOB′=60°，
∴∠BOE=∠B′OF=30°，
在Rt△B′OF中，OF=OB′cos∠B′OF=1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
B′F=OB′sin∠B′OF=1×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），
在Rt△AOB中，∵OB=1，AO=$\sqrt{3}$，
∴tan∠ABO=$\frac{AO}{BO}$=$\sqrt{3}$，
∴∠ABO=60°，
∴∠OEB=90°，
在Rt△BOE中，OE=OBsin∠ABO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，BE=OBcos∠ABO=$\frac{1}{2}$，
∴S_△BOE=$\frac{1}{2}$BE•OE=$\frac{\sqrt{3}}{8}$，
故答案為：（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\frac{\sqrt{3}}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和解直角三角形，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出所需角的度數(shù)和線段的長度是解題的關(guān)鍵．