Question

17．如圖，△ABC是等邊三角形，AB=2cm，動點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，運動速度均為1cm/s，點P從點A出發(fā)，沿A→B運動，到點B停止，點Q從點C出發(fā)，沿C→A運動，到點A停止，連接BQ、CP相交于點D，設(shè)點P的運動時間為x（s）．
（1）AP=x（用含x的式子表示）；
（2）求證：△ACP≌△CBQ；
（3）求∠PDB的度數(shù)；
（4）當(dāng)CP⊥AB時，直接寫出x的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點P的運動時間為x（s），運動速度均為1cm/s，得到AP=x；
（2）利用SAS證明△ACP≌△CBQ；
（3）由△ACP≌△CBQ，得到∠ACP=∠QCB，利用外角的性質(zhì)∠PDB=∠DBC+∠DCB，即可解答；
（4）當(dāng)CP⊥AB時，則點P為AB的中點，所以AP=$\frac{1}{2}$AB=1cm，則x=1．

解答 解：（1）∵點P的運動時間為x（s），運動速度均為1cm/s，
∴AP=x，
故答案為：x．
（2）∵動點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，運動速度均為1cm/s，點P從點A出發(fā)，沿A→B運動，到點B停止，點Q從點C出發(fā)，沿C→A運動，到點A停止，
∴AP=CQ，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=CB，∠A=∠ACB=60°，
在△ACP和△CBQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CB}\\{∠A=∠QCB}\\{AP=CQ}\end{array}\right.$，
∴△ACP≌△CBQ．
（3）∵△ACP≌△CBQ，
∴∠ACP=∠QCB，
∵∠PDB=∠DBC+∠DCB，
∴∠PDB=∠DCB+∠ACP=∠ACB=60°．
（4）當(dāng)CP⊥AB時，則點P為AB的中點，
∴AP=$\frac{1}{2}$AB=1cm，
∴x=1．

點評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，解決本題的關(guān)鍵是證明△ACP≌△CBQ．