Question

3．△ABC是一塊銳角三角形材料，邊BC=120cm，高AD=80cm，要把它加工成矩形零件EFGH，使矩形的一邊GH在BC上，其余兩個頂點E、F在AB，AC上，
（1）求證：EF：BC=AM：AD；
（2）設(shè)EF=x，EG=y，用含x的代數(shù)式表示y；
（3）設(shè)矩形EFGH的面積是S，求當(dāng)x為何值時S的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)EF∥BC，得出△AEF∽△ABC，進而得出EF：BC=AM：AD；
（2）設(shè)EF=x，EG=y，利用相似三角形的性質(zhì)用x表示出y即可；
（3）根據(jù)矩形面積公式求出S與x之間的解析式，運用公式求拋物線頂點的橫坐標即可．

解答 （1）證明：∵四邊形EFHG是矩形，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{AM}{AD}$=$\frac{EF}{BC}$；

（2）解：設(shè)EF=x，EG=y，
故$\frac{80-y}{80}$=$\frac{x}{120}$，
解得：y=-$\frac{2}{3}$x+80．

（3）S_矩形EFHG=EG•EF=（-$\frac{2}{3}$x+80）•x．
即S=-$\frac{2}{3}$x²+80x．
∴當(dāng)x=-$\frac{2a}$=60時，矩形EGHF的面積最大．

點評 本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用、矩形EGHF的面積的表達，把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)是解決問題關(guān)鍵．