Question

19．定義：如果兩條線段將一個(gè)三角形分成3個(gè)等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個(gè)三角形的三分線．
（1）如圖①，△ABC是頂角為36°的等腰三角形，這個(gè)三角形的三分線已經(jīng)畫出，判斷△DAB與△EBC是否相似：是（填“是”或“否”）；
（2）如圖②，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，則△ABC的三分線的長(zhǎng)為$\frac{2}{5}$$\sqrt{10}$和$\frac{3}{5}$$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)等腰三角形的判定定理容易畫出圖形；根據(jù)∠B=α，則∠DCB=∠DCA=∠EAC=α，∠ADE=∠AED=2α，則△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，設(shè)AE=AD=x，BD=CD=y，得出方程組，解方程組即可．

解答 解：（1）是，
故答案為：是；

（2）如圖3所示，CD、AE就是所求的三分線．                     

設(shè)∠B=α，則∠DCB=∠DCA=∠EAC=α，∠ADE=∠AED=2α，
此時(shí)△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，
設(shè)AE=AD=x，BD=CD=y，
∵△AEC∽△BDC，
∴x：y=2：3，
∵△ACD∽△ABC，
∴2：x=（x+y）：2，
所以聯(lián)立得方程組$\left\{\begin{array}{l}{x：y=2：3}\\{2：x=（x+y）：2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{5}\sqrt{10}}\\{y=\frac{3}{5}\sqrt{10}}\end{array}\right.$，
即三分線長(zhǎng)分別是$\frac{2}{5}$$\sqrt{10}$和$\frac{3}{5}$$\sqrt{10}$．
故答案為：$\frac{2}{5}$$\sqrt{10}$和$\frac{3}{5}$$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解方程組等知識(shí)；解決本題的關(guān)鍵是作出圖形．