Question

13．如圖，直角三角形ABC中，AC=4，BC=3，P為斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，且PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分別是E、F，則線段EF長度的最小值是$\frac{12}{5}$．

Answer 1

分析 先由矩形的判定定理推知四邊形PECF是矩形；連接PC，則PC=EF，所以要使EF，即PC最短，只需PC⊥AB即可；然后根據(jù)三角形的等積轉(zhuǎn)換即可求得PC的值．

解答 解：連接PC．
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°；
又∵∠ACB=90°，
∴四邊形ECFP是矩形，
∴EF=PC，
∴當(dāng)PC最小時(shí)，EF也最小，
即當(dāng)CP⊥AB時(shí)，PC最小，
∵AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∴$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$AB•PC，
∴PC=$\frac{12}{5}$．
∴線段EF長的最小值為$\frac{12}{5}$；
故答案為：$\frac{12}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理、矩形的判定與性質(zhì)、垂線段最短．利用“兩點(diǎn)之間垂線段最短”找出PC⊥AB時(shí)，PC取最小值是解答此題的關(guān)鍵．