Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線AC與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點C（0，4）．作OB⊥AC于點B，動點D在邊OA上，D（m，0）（0＜m＜4），過點D作DE⊥OA交折線OB-BA于點E．Rt△GHI的斜邊HI在射線AC上，GI∥OA，GI=m，GI與x軸的距離為

m

2

．設△GHI與△OAB重疊部分圖形的面積為S．
（1）求直線AC所對應的函數(shù)關系式．
（2）直接寫出用m分別表示點G、H、I的坐標．
（3）當0＜m＜2時，求S與m之間的函數(shù)關系式．
（4）直接寫出點E落在△GHI的邊上時m的取值范圍．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）待定系數(shù)法把（4，0）、（0，4）代入函數(shù)關系式，可得直線AC所對應的函數(shù)關系式．
（2）分別用m表示點G、H、I的橫坐標和縱坐標即可求解．
（3）當H、B重合時，y_H=y_B，可得

3

2

m=2，解得m=

4

3

．再分當0＜m≤

4

3

時；當

4

3

＜m＜2時；兩種情況討論可求S與m之間的函數(shù)關系式．
（4）分點E落在△GHI的GH邊上，點E落在△GHI的HI邊上兩種情況討論即可求解．

解答：解：（1）設直線AC所對應的函數(shù)關系式為y=kx+b．
把（4，0）、（0，4）代入得

4k+b=0 0+b=4

，
解得

k=-1 b=4.

．
故直線AC所對應的函數(shù)關系式為y=-x+4．

（2）點G的橫坐標4-（m+

m

2

）=4-

3

2

m，縱坐標為

1

2

m，
故G(4-

3

2

m， 

1

2

m)，
點H的橫坐標4-（m+

m

2

）=4-

3

2

m，縱坐標為m+

m

2

=

3

2

m，
故H(4-

3

2

m， 

3

2

m)，
點I的橫坐標4-

1

2

m，縱坐標為

1

2

m，
故I(4-

1

2

m， 

1

2

m)．

（3）當H、B重合時，y_H=y_B，則

3

2

m=2，
解得m=

4

3

．
當0＜m≤

4

3

時，S=

1

2

m•m=

1

2

m2．
當

4

3

＜m＜2時，S=

1

2

m2-[2-(4-

3

2

m)]2=-

7

4

m2+6m-4．

（4）①點E落在△GHI的GH邊上，
m=4-

3

2

m，解得m=

8

5

；
②點E落在△GHI的HI邊上，
m+m=4，解得m=2；
m=4-

1

2

m，解得m=

8

3

；
即2≤m≤

8

3

．
故點E落在△GHI的邊上時，m的取值范圍為m=

8

5

或2≤m≤

8

3

．

點評：本題考查了一次函數(shù)綜合題，涉及的知識點有：點的坐標的求法，待定系數(shù)法求直線解析式，折疊問題及分類討論的數(shù)學思想．