Question

11．如圖，AB是⊙O的直徑，AF是⊙O的切線，弦CD⊥AB于E，CF∥DA，DE=2$\sqrt{3}$，AO-OE=2，證明四邊形AFCD是菱形，并求點(diǎn)O到FC的距離．

Answer 1

分析 連結(jié)OC、AC，如圖，根據(jù)垂徑定理得CE=DE=2$\sqrt{3}$，則利用線段垂直平分線定理得AC=AD，設(shè)⊙O的半徑為r，則OE=2-r，OC=r，在Rt△OCE中根據(jù)勾股定理得（r-2）²+（2$\sqrt{3}$）²=r²，解得r=4，即OE=2，OC=4，所以∠OCE=30°，∠COE=60°，根據(jù)圓周角定理得∠CAD=∠COB=60°，于是可判斷△ACD為等邊三角形得到AD=CD，由四邊形AFCD為平行四邊形，于是可判斷四邊形AFCD是菱形；然后OC⊥CF，得到點(diǎn)O到FC的距離等于OC的長．

解答 解：連結(jié)OC、AC，如圖，
∵CD⊥AB于E，
∴CE=DE=2$\sqrt{3}$，
∴AC=AD，
設(shè)⊙O的半徑為r，則OE=2-r，OC=r，
在Rt△OCE中，∵OE²+CE²=OC²，
∴（r-2）²+（2$\sqrt{3}$）²=r²，解得r=4，
∴OE=2，OC=4，
∴∠OCE=30°，∠COE=60°，
∴∠CAD=∠COB=60°，
∴△ACD為等邊三角形，
∴AD=CD，
∵AF是⊙O的切線，
∴AB⊥AB，
∴AF∥CD，
而CF∥DA，
∴四邊形AFCD為平行四邊形，
而CD=AD，
∴四邊形AFCD是菱形；
∵△ACD為等邊三角形，
∴∠ADC=60°，
∴∠ACD=120°，
而∠OCE=30°，
∴∠FCO=90°，
∴OC⊥CF，
∴點(diǎn)O到FC的距離等于OC的長，即點(diǎn)O到FC的距離為4．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．也考查了菱形的判定與性質(zhì)和勾股定理．