Question

16．如圖，AB=BC，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交OC于點D，AD的延長線交BC于點E，點F為BE的中點．
（1）求證：DF為⊙O的切線；
（2）求證：CD²=CE•CB；
（3）若CE=4，求DF的長．

Answer 1

分析 （1）先連接BD，利用圓周角定理求得BD⊥AE，然后根據(jù)三角形斜邊的性質(zhì)求得DF=BF，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可證得∠ODF=90°；
（2）根據(jù)直角三角形兩銳角互余和等腰三角形的性質(zhì)求得∠CDB=∠CED，進而得出△CDE∽△CBD，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出答案．
（3）先求得△CDF∽△CBO，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得2DF=CD，再結(jié)合（2）求得的結(jié)論即可求得DF的長．

解答 解：（1）連接BD，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠EDB=90°，
∵點F為BE的中點，
∴DF=BF，
∴∠BDF=∠DBF，
∴OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠ODB+∠BDF=∠OBD+∠DBF，
即∠ODF=∠OBF，
∵∠ABC=90°，
∴∠ODF=90°，
∴DF為⊙O的切線；

（2）∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠OBD+∠A=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠DEB+∠A=90°，
∴∠DEB=∠OBD，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠ODB=∠DEB，
∴∠CDB=∠CED，
∵∠DCB=∠ECD，
∴△CDE∽△CBD，
∴$\frac{CE}{CD}$=$\frac{CD}{CB}$，
∴CD²=CE•CB；

（3）∵∠CDF=∠CBO=90°，
∠DCF=∠OCB，
∴△CDF∽△CBO，
∴$\frac{DF}{BO}$=$\frac{CD}{BC}$，
∴$\frac{DF}{CD}$=$\frac{BO}{CB}$，
∵AB=BC，
∴$\frac{DF}{CD}$=$\frac{BO}{CB}$=$\frac{1}{2}$，
∴2DF=CD，
∵CD²=CE•CB，BE=2DF，
∴（2DF）²=CE（CE+2DF），
∴4DF²=4（4+2DF），
解得DF=$\sqrt{5}$-1．

點評 此題主要考查了圓的切線性質(zhì)與判定、圓周角定理性質(zhì)及三角形相似的判定等知識，熟練根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊之間關(guān)系是解題關(guān)鍵．