Question

4．如圖，AB為⊙O的直徑，E為⊙O上一點(diǎn)，∠EAB的平分線AC交⊙O于C點(diǎn)，過(guò)C點(diǎn)作CD⊥AE交AE的延長(zhǎng)線于D點(diǎn)，直線CD與射線AB交于P點(diǎn)．
（1）求證：DC為⊙O切線；
（2）若DC=1，AC=$\sqrt{5}$，求⊙O的半徑長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OC，根據(jù)角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)證明OC∥AD，得到∠OCP=∠D=90°，根據(jù)切線的判定定理證明；
（2）連接BC，根據(jù)勾股定理求出AD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．

解答 （1）證明：連接OC，
∵AC是∠EAB的平分線，
∴∠DAC=∠OAC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∴∠OCP=∠D=90°，
∴DC為⊙O切線；
（2）解：連接BC，
∵∠D=90°，DC=1，AC=$\sqrt{5}$，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=2，
∵∠OAC=∠OCA，∠ACB=∠D，
∴△ADC∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，即AC²=AD•AB，
則AB=$\frac{A{C}^{2}}{AD}$=$\frac{5}{2}$，
∴⊙O的半徑長(zhǎng)為$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是切線的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，掌握經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解題的關(guān)鍵．