Question

6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有一寬為1的長方形紙帶，平行于y軸，在x軸的正半軸上移動(dòng)，交x軸的正半軸于點(diǎn)A，D，兩邊分別交函數(shù)y₁=$\frac{2}{x}$（x＞0）與y₂=$\frac{3}{x}$（x＞0）的圖象于B、F和E、C（如圖），設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m．
（1）連接OB，OE，求△OBE的面積；
（2）連接BC，當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形ABCD是矩形；
（3）在紙帶在平移的過程中，能否使點(diǎn)O、B、C三點(diǎn)在同一直線上？若能，求出此時(shí)m的值；若不能，試說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用反比例函數(shù)k的幾何意義可求得S_△OAB和S_△OAE，則可求得S_△OBE；
（2）用m可表示出B、C的坐標(biāo)，由矩形的性質(zhì)可知AB∥CD且AB=CD，可得到關(guān)于m的方程，可求得m的值；
（3）用m可表示出B、C的坐標(biāo)，則可表示出OA、OD、AB和CD的長，當(dāng)O、B、C三點(diǎn)在一條線上時(shí)，利用平行線分線段成比例的性質(zhì)可得到關(guān)于m的方程，可求得m的值．

解答 解：
（1）如圖1，

∵點(diǎn)B在y₁=$\frac{2}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴OA•AB=2，
同理OA•AE=3，
∴S_△OBE=S_△OAE-S_△OAB=$\frac{1}{2}$OA•AE-$\frac{1}{2}$OA•AB=$\frac{3}{2}$-1=$\frac{1}{2}$；
（2）∵點(diǎn)B在y₁=$\frac{2}{x}$（x＞0）的圖象上，且OA=m，
∴AB=$\frac{2}{m}$，OD=OA+AD=m+1，
∵點(diǎn)C在y₂=$\frac{3}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴CD=$\frac{3}{m+1}$，
當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)，則AB=CD，
∴$\frac{2}{m}$=$\frac{3}{m+1}$，解得m=2，經(jīng)檢驗(yàn)m=2是原方程的解，
∴當(dāng)m的值為2時(shí)，四邊形ABCD為矩形；
（3）如圖2，

由（2）可知OA=m，OD=m+1，AB=$\frac{2}{m}$，CD=$\frac{3}{m+1}$，
∵O、B、C三點(diǎn)在一條線上，且AB∥CD，
∴$\frac{OA}{OD}$=$\frac{AB}{CD}$，即$\frac{m}{m+1}$=$\frac{\frac{2}{m}}{\frac{3}{m+1}}$，解得m=2+$\sqrt{5}$或m=2-$\sqrt{5}$（舍去），
∴當(dāng)m的值為2+$\sqrt{5}$時(shí)，O、B、C三點(diǎn)在一條線上．

點(diǎn)評 本題為反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及反比例函數(shù)k的幾何意義、三角形的面積、矩形的性質(zhì)、平行線分線段成比例等知識．在（1）中掌握好反比例函數(shù)中k的幾何意義是解題的關(guān)鍵，在（2）中利用矩形的性質(zhì)得到關(guān)于m的方程是解題的關(guān)鍵，在（3）中利用平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．