Question

11．如圖，已知AB為⊙O的直徑，弦BD平分∠ABH，過點D作DH⊥BH于點H，BH交⊙O于點C．
（1）求證：DH是⊙O的切線；
（2）小強同學(xué)通過探究發(fā)現(xiàn)：BH+CH=AB，請你幫助小強同學(xué)證明這一結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）要證明DH是⊙O的切線，只要證明OD⊥DH即可．
（2）通過證得RT△BDE≌RT△BDH、RTABDE≌RT△CDH得出BH=BE、HC=AE，即可證得結(jié)論．

解答 證明：連接OD，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD．
∵∠OBD=∠DBH，
∴∠ODB=∠DBH，
∴OD∥BH．
∵BH⊥DH，
∴OD⊥DH，
∴DH是⊙O的切線；

（2）過D作DE⊥AB于E，連接AD、DC，
∵BD平分∠ABH，DH⊥BH于點H，
∴DE=DH，
在RT△BDE和RT△BDH中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DH}\\{BD=BD}\end{array}\right.$
∴RT△BDE≌RT△BDH（HL），
∴BH=BE，
∵∠ABD=∠CBD，
∴AD=DC，
在RT△ADE和RT△CDH中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DH}\\{AD=DC}\end{array}\right.$
∴RTABDE≌RT△CDH（HL），
∴HC=AE，
∴BH+HC=BE+AE，
即BH+CH=AB．

點評 本題考查的是切線的判定、角平分線的性質(zhì)、圓周角的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解題的關(guān)鍵．