Question

已知拋物線y=-

3

4

x²+

15

4

x-3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．在直線CA上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使得△ACD的面積最大？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：根據(jù)拋物線解析式求出A，B，C坐標(biāo)，確定出直線AC解析式，當(dāng)一條直線與直線AC平行，且與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)D時(shí)，三角形ACD面積最大，設(shè)出直線解析式，與拋物線解析式聯(lián)立消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，且根的判別式等于0，求出m的值，即可確定出此時(shí)D的坐標(biāo)．

解答：解：對(duì)于拋物線y=-

3

4

x²+

15

4

x-3，
令y=0，得到-

3

4

x²+

15

4

x-3=0，
解得：x=1或x=4，
∴B（1，0），A（4，0），
令x=0，得到y(tǒng)=-3，即C（0，-3），
設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，
將A與C坐標(biāo)代入得：

4k+b=0 b=-3

，
解得：k=

3

4

，b=-3，
∴直線AC解析式為y=

3

4

x-3，
設(shè)平行于直線AC，且與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線方程為y=

3

4

x+m，
此時(shí)直線與拋物線交于點(diǎn)D，使得△ACD的面積最大，
與二次函數(shù)解析式聯(lián)立消去y得：-

3

4

x²+

15

4

x-3=

3

4

x+m，
整理得：3x²-12x+4m+12=0，
∴△=144-12（4m+12）=0，
解得：m=0，
∴此時(shí)直線方程為y=

3

4

x，點(diǎn)D坐標(biāo)為（2，

3

4

）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，兩直線平行時(shí)斜率滿足的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：“平行于直線AC，且與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線方程與拋物線交點(diǎn)為D，使得△ACD的面積最大”．