Question

5．廣雅中學(xué)某初中畢業(yè)生利用暑假40天時間參加社會實踐活動，參與了某公司旗下一家加盟店經(jīng)營，了解到-種成本為30元/件的新型商品，在第x天銷售的相關(guān)信息如下表所示． 

銷售量p（件）	p=40-x
銷售單價q（元/件）	當1≤x≤20時，q=40+$\frac{1}{2}$x； 當21≤x≤50時，q=30+$\frac{525}{x}$

（1）請計算第幾天該商品的銷售單價為45元/件？
（2）這40天中該加盟店第幾天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？
（3）在實際銷售的前20天中，公司為鼓勵加盟店接收大學(xué)生參加實踐活動決定每銷售一件商品就發(fā)給該加盟店m（m≥2）元獎勵．通過該加盟店的銷售記錄發(fā)現(xiàn)，前7天中，每天獲得獎勵后的利潤隨時間x（天）的增大而增大，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）在每個x的取值范圍內(nèi)，令q=45，分別解出x的值即可；
（2）利用利潤=（售價-成本）×銷售數(shù)量，分別求出在1≤x≤20和21≤x≤40時，y與x的函數(shù)關(guān)系式，然后再確定出函數(shù)的最值即可；
（3）當1≤x≤20時，每天的利潤y=$-{\frac{1}{2}x}^{2}+（10-m）x+400+40m$，然后根據(jù)x=-$\frac{2a}$≤7求解即可．

解答 解：（1）當1≤x≤20時，令40+$\frac{1}{2}$x=45，得x=10，
當21≤x≤40時，令30+$\frac{525}{x}$=45，
解得：x=35，
經(jīng)檢驗得x=35是原方程的解且符合題意，
答：第10天或者第35天該商品的銷售單價為45元/件．
（2）當1≤x≤20時，y=（40+$\frac{1}{2}$x-30）（40-x）=-$\frac{1}{2}$x²+10x+400，
當x=-$\frac{2a}$=10時，y有最大值，最大值=$-\frac{1}{2}×1{0}^{2}+10×10+400$=450元．
當21≤x≤40時，y=（30+$\frac{525}{x}$-30）（40-x）=$\frac{21000}{x}$-525，
當x=21時，有最大值，最大值為y=$\frac{21000}{21}-525$=475．
綜上所述，第21天獲得的利潤最大，最大利潤是475元．
（3）由題意可知每天的利潤y=-$\frac{1}{2}$x²+10x+400+m（40-x）=$-{\frac{1}{2}x}^{2}+（10-m）x+400+40m$，
∵前7天中，每天獲得獎勵后的利潤隨時間x（天）的增大而增大，
∴-$\frac{2a}$≥7，即：-$\frac{10-m}{2×（-\frac{1}{2}）}$≥7．
解得：m≤3．
∴m的取值范圍是2≤m≤3．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．