Question

10．如圖1，在⊙O中，弦AB⊥弦CD，垂足為點E，連接AC、DB并延長相交于點P，連接AO，DO，AD，BC．
（1）求證：∠AOD=90°+∠P；
（2）如圖2，若AB平分∠CAO，求證：AD=AB；
（3）如圖3，在（2）的條件下，若OA=5，PB=$\frac{15}{4}$，求四邊形ACBD的面積．

Answer 1

分析 （1）因為$\widehat{BC}=\widehat{BC}$，所以∠CAE=∠CDB，又∠AOD=2∠ACD，所以∠AOD=∠ACD+（∠CDB+∠P）=∠ACD+∠CAE+∠P=90°+∠P；
（2）延長AO交BD于點F，交CD于G，由于∠CAB+∠ACG=∠DGF+∠CDB，所以∠GFD=90°，所以AF垂直平分線段BD；
（3）利用∠AOD=90°+∠P，所以∠HBP=90°，由因為OA=AH=HB=5，所以由勾股定理可求得PH=$\frac{25}{4}$，所以tan∠PHB=tan∠BAD，設AE=4m，ED=3m，所以AB=AD=5m，EB=m，HM=$\frac{5}{6}m$，再利用勾股定理可求得m的值，求出AB和CD的長度后，利用四邊形的面積為$\frac{1}{2}$AB•CD即可得答案．

解答 （1）證明：∵AB⊥CD，
∴∠AEC=90°，
∴∠CAE+∠ACD=90°
∵$\widehat{BC}=\widehat{BC}$，
∴∠CAE=∠CDB
∵$\widehat{AD}=\widehat{AD}$，
∴∠AOD=2∠ACD，
∵∠ACD=∠CDB+∠P
∴∠AOD=∠ACD+（∠CDB+∠P）=∠ACD+∠CAE+∠P=90°+∠P；

（2）如圖1，延長AO交BD于點F，交CD于G，
∵AB平分∠CAO，AB⊥CD，
∴AC=AG，
∴∠ACG=∠AGC，
∵∠AGC=∠DGF，∠CAB=∠CDB，
∴∠CAB+∠ACG=∠DGF+∠CDB，
∴∠GFD=90°，
由垂徑定理可知：AF垂直平分線段BD，
∴AB=AD；

（3）過點O作OM⊥AB于點M，交AC于點H，
連接HB，
設∠CAB=α，
∴由（2）可知：∠CAB=∠BAO=∠DAO=α，
∴∠ACD=90°-α，∠PHB=2α，
∠AOD=2∠ACD=2（90°-α）=180°-2α，
由（1）可知：∠AOD=90°+∠P，
∴∠PHB+∠P=2α+∠P=2α+∠AOD-90°=90°，
由（2）可知：AH=AO，
由垂徑定理可知：AH=HB，
∴HB=AO=5，
∵PB=$\frac{15}{4}$，
∴由勾股定理可知：PH=$\frac{25}{4}$，
∵∠PHB=∠DAB=2α，
∴tan∠PHB=tan∠DAB=$\frac{PB}{HB}$=$\frac{3}{4}$，
∴設AE=4m，ED=3m，
∴由勾股定理可知：AD=5m，
∵AB=AD=5m，
∴EB=5m-4m=m，
∵∠CDB=∠CAB，
∴tan∠CDB=tan∠BAO=$\frac{EB}{ED}$=$\frac{1}{3}$，
∵由垂徑定理可知：AM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$m，
∴tan∠BAO=$\frac{OM}{AM}$，tan∠CAE=$\frac{CE}{AE}$，
∴OM=$\frac{5}{6}m$，CE=$\frac{4}{3}m$，
∴CD=$\frac{13}{3}$m，
∵由勾股定理可知：AO²=AM²+OM²，
∴5²=（$\frac{5}{2}$m）²+（$\frac{5}{6}$m）²，
∴m=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，
∴四邊形ACBD的面積為：$\frac{1}{2}$AB•CE+$\frac{1}{2}$AB•ED=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{65}{6}$m²=39．

點評 本題考查圓的綜合問題，涉及圓周角定理，等量代換，垂徑定理，勾股定理等知識，考查學生綜合運用知識的能力．