Question

7．如圖①，在△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，DC=3，求AD的長．（提示：如圖②所示分別以AB、AC為對稱軸，畫出△ABD、△ACD的軸對稱圖形，D點的對稱點分別為E、F，延長EB、FC相交于G點）
（1）求證：四邊形AEGF是正方形；
（2）設AD=x，利用勾股定理，建立關于x的方程模型，求出x的值．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF=90°；再根據(jù)對稱的性質(zhì)得到AE=AF，從而說明四邊形AEGF是正方形；
（2）利用勾股定理，建立關于x的方程模型（x-2）²+（x-3）²=5²，求出AD=x=6．

解答 解（1）由對折的性質(zhì)可得，△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，
∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，
∵∠BAC=45°，
∴∠EAF=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°，
∴四邊形AEGF為矩形，
∵AE=AD，AF=AD，
∴AE=AF，
∴矩形AEGF是正方形；
（2）根據(jù)對稱的性質(zhì)可得：BE=BD=2，CF=CD=3，
設AD=x，則正方形AEGF的邊長是x，
則BG=EG-BE=x-2，CG=FG-CF=x-3，
在Rt△BCG中，根據(jù)勾股定理可得：（x-2）²+（x-3）²=5²，
解得：x=6或-1（舍去）．
∴AD=x=6；

點評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了對折的性質(zhì)，全等三角形和勾股定理，以及正方形的判定，解本題的關鍵是熟練掌握翻折變換的性質(zhì)：翻折前后圖形的對應邊或?qū)�應角相等；有四個角是直角的四邊形是矩形，有一組鄰邊相等的矩形是正方形．