Question

七中育才學校為鼓勵學生進行微電影拍攝，出臺了相關規(guī)定：由學校統(tǒng)一給學生提供光碟刻錄，學生在教育研討會期間自主銷售，刻錄成本價與出廠價之間的差價由學校承擔．李明按照規(guī)定拍攝了一部質量較高的微電影．已知該部微電影光盤的成本價為每盤10元，刻錄商家出廠價為每盤12元，銷售量y（盤）與銷售單價x（元）之間的關系近似滿足一次函數(shù)：y=-10x+500．
（1）李明把銷售單價定為20元，那么學校為他承擔的總差價為多少元？
（2）設李明獲得的利潤為w（元），當銷售單價定為多少元時，可獲得最大利潤？
（3）學校規(guī)定銷售單價不得高于25元．如果李明想要獲得的利潤不低于3000元，那么學校為他承擔的總差價最少為多少元？

Answer 1

考點：二次函數(shù)的應用

專題：

分析：（1）把x=20代入y=-10x+500求出銷售的件數(shù)，然后求出學校承擔的成本價與出廠價之間的差價；
（2）由利潤=銷售價-成本價，得w=（x-10）（-10x+500），把函數(shù)轉化成頂點坐標式，根據(jù)二次函數(shù)的性質求出最大利潤；
（3）令-10x²+600x-5000=3000，求出x的值，結合圖象求出利潤的范圍，然后設設學校每個月為他承擔的總差價為p元，根據(jù)一次函數(shù)的性質求出總差價的最小值．

解答：解：（1）當x=20時，y=-10x+500=-10×20+500=300，
300×（12-10）=300×2=600元，
即學校這個月為他承擔的總差價為600元．

（2）依題意得，w=（x-10）（-10x+500）
=-10x²+600x-5000
=-10（x-30）²+4000
∵a=-10＜0，∴當x=30時，w有最大值4000元．
即當銷售單價定為30元時，每月可獲得最大利潤4000元．

（3）由題意得：-10x²+600x-5000=3000，
解得：x₁=20，x₂=40．
∵a=-10＜0，拋物線開口向下，

∴結合圖象可知：當20≤x≤40時，4000＞w≥3000．
又∵x≤25，
∴當20≤x≤25時，w≥3000．
設學校每個月為他承擔的總差價為p元，
∴p=（12-10）×（-10x+500）
=-20x+1000．
∵k=-20＜0．
∴p隨x的增大而減小，
∴當x=25時，p有最小值500元．
即銷售單價定為25元時，學校每個月為他承擔的總差價最少為500元．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的應用的知識點，解答本題的關鍵熟練掌握二次函數(shù)的性質以及二次函數(shù)最大值的求解，此題難度不大．