Question

19．如圖．AB是⊙O的直徑，E為弦AP上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EC⊥AB于點(diǎn)C，延長(zhǎng)CE至點(diǎn)F，連接FP，使∠FPE=∠FEP，CF交⊙O于點(diǎn)D．
（1）證明：FP是⊙O的切線；
（2）若四邊形OBPD是菱形，證明：FD=ED．

Answer 1

分析 （1）連接OP，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A=∠APO，根據(jù)垂直的定義得到∠A+∠AEC=90°，等量代換得到∠AEC=∠FPE，于是得到OP⊥PF，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到PB=OB，推出△OPB是等邊三角形，得到∠B=∠BOP=60°，于是得到△FPE是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）連接OP，
∵OP=OA，
∴∠A=∠APO，
∵EC⊥AB，
∴∠A+∠AEC=90°，
∵∠FPE=∠FEP，∠FEP=∠AEC，
∴∠AEC=∠FPE，
∴∠OPA+∠FPA=90°，
∴OP⊥PF，
∴FP是⊙O的切線；

（2）∵四邊形OBPD是菱形，
∴PB=OB，
∵OB=OP，
∴OP=OB=PB，
∴△OPB是等邊三角形，
∴∠B=∠BOP=60°，
∴∠A=30°，
∴∠AEC=∠FEP=60°，
∴∠FPE=∠FEP=60°，
∴△FPE是等邊三角形，
∵PD∥AB，
∴PD⊥EF，
∴FD=ED．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．