Question

8．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)O，DE平分∠ADC交BC于點(diǎn)E，連接OE．
（1）求證：四邊形ABCD是矩形；
（2）若AB=2，求△OEC的面積．

Answer 1

分析 （1）只要證明三個(gè)角是直角即可解決問(wèn)題；
（2）作OF⊥BC于F．求出EC、OF的長(zhǎng)即可；

解答 （1）證明：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵∠ABC=90°，
∴∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，
∴四邊形ABCD是矩形．

（2）作OF⊥BC于F．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD=AB=2，∠BCD=90°，AO=CO，BO=DO，AC=BD，
∴AO=BO=CO=DO，
∴BF=FC，
∴OF=$\frac{1}{2}$CD=1，
∵DE平分∠ADC，∠ADC=90°，
∴∠EDC=45°，
在Rt△EDC中，EC=CD=2，
∴△OEC的面積=$\frac{1}{2}$•EC•OF=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩形的判定和性質(zhì)、角平分線(xiàn)的定義、三角形中位線(xiàn)定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造三角形中位線(xiàn)解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．