Question

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=2x與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$在第一象限內(nèi)的圖象交于點A（m，2），將直線y=2x向下平移后與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$在第一象限內(nèi)的圖象交于點P，且△POA的面積為2．
（1）求k的值．
（2）求平移后的直線的函數(shù)解析式．

Answer 1

分析 （1）由點A的縱坐標(biāo)求得m，即點A的坐標(biāo)，把點A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)中即可；
（2）方法一、先求出PM，再求出BN然后用銳角三角函數(shù)求出OB，即可．
方法二、先設(shè)出點P的坐標(biāo)，利用△POA的面積為2．建立方程求出點P的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵點A（m，2）在直線y=2x，
∴2=2m，
∴m=1，
∴點A（1，2），
∵點A（1，2）在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=2，
（2）方法一、如圖，

設(shè)平移后的直線與y軸相交于B，過點P作PM⊥OA，BN⊥OA，AC⊥y軸
由（1）知，A（1，2），
∴OA=$\sqrt{5}$，sin∠BON=sin∠AOC=$\frac{AC}{OA}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵S_△POA=$\frac{1}{2}$OA×PM=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$PM=2，
∴PM=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∵PM⊥OA，BN⊥OA，
∴PM∥BN，
∵PB∥OA，
∴四邊形BPMN是平行四邊形，
∴BN=PM=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∵sin∠BON=$\frac{BN}{OB}$=$\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}}{OB}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴OB=4，
∵PB∥AO，
∴B（0，-4），
∴平移后的直線PB的函數(shù)解析式y(tǒng)=2x-4，

方法二、如圖1，過點P作PC⊥y軸交OA于C，
設(shè)點P的坐標(biāo)為（n，$\frac{2}{n}$）（n＞1），
∴C（$\frac{1}{n}$，$\frac{2}{n}$），∴PC=n-$\frac{1}{n}$，
∵△POA的面積為2．A（1，2）
∴S_△POA=S_△PCO+S_△PCA
=$\frac{1}{2}$（n-$\frac{1}{n}$）×$\frac{2}{n}$+$\frac{1}{2}$（n-$\frac{1}{n}$）（2-$\frac{2}{n}$）
=$\frac{1}{2}$（n-$\frac{1}{n}$）×2
=n-$\frac{1}{n}$
=2，
∴n=1-$\sqrt{2}$（舍）或n=1+$\sqrt{2}$，
∴P（1+$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$-2）
∴PB∥AO，
∴設(shè)直線PB的解析式為y=2x+b，
∵點P在直線PB上，
∴2$\sqrt{2}$-2=2（1+$\sqrt{2}$）+b，
∴b=-4，
∴平移后的直線PB的函數(shù)解析式y(tǒng)=2x-4，

點評 此題是反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點問題，主要考查了函數(shù)解析式的確定方法，平行四邊形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的意義，解本題的關(guān)鍵是作出輔助線．