Question

設三位數(shù)n=

.

abc

，若以a，b，c為三條邊的長可以構(gòu)成一個等腰（含等邊）三角形，則這樣的三位數(shù)有（　　）

• A、45個
• B、81個
• C、165個
• D、216個

Answer 1

考點：整數(shù)問題的綜合運用

專題：綜合題

分析：先考慮等邊三角形情況，則a=b=c=1，2，3，4，5，6，7，8，9，此時n有9個，再考慮等腰三角形情況，若a，b是腰，則a=b，列舉出所有的情況，注意去掉不能構(gòu)成三角形的結(jié)果，交換腰和底的位置，求和得到結(jié)果．

解答：解：由題意知以a、b、c為三條邊的長可以構(gòu)成一個等腰（含等邊）三角形，
先考慮等邊三角形情況，
則a=b=c=1，2，3，4，5，6，7，8，9，此時n有9個，
再考慮等腰三角形情況，若a，b是腰，則a=b，
當a=b=1時，c＜a+b=2，則c=1，與等邊三角形情況重復；
當a=b=2時，c＜4，則c=1，3（c=2的情況等邊三角形已經(jīng)討論了），此時n有2個；
當a=b=3時，c＜6，則c=1，2，4，5，此時n有4個；
當a=b=4時，c＜8，則c=1，2，3，5，6，7，有6個；
當a=b=5時，c＜10，有c=1，2，3，4，6，7，8，9，有8個；
由加法原理知n有2+4+6+8+8+8+8+8=52個
同理，若a，c是腰時，c也有52個，b，c是腰時也有52個
所以n共有9+3×52=165個．
故選C．

點評：本題考查了整數(shù)問題的綜合運用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)所給的條件不重不漏的列舉出所有的結(jié)果，注意數(shù)字要首先能夠構(gòu)成三角形，即滿足兩邊之和大于第三邊．