Question

7．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4．點(diǎn)P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連接PC，以PC為直角邊在PC的右上方作等腰直角三角形PCD．連接AD，若AD∥BC，且四邊形ABCD的面積為12，則BP的長(zhǎng)為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作PF⊥BC于點(diǎn)F，延長(zhǎng)FP交AD于點(diǎn)E，證△PCF≌△DPE得PF=DE、PE=CF，從而得PE=CF=4-x，根據(jù)四邊形ABCD的面積求得AD的長(zhǎng)，據(jù)此知AE=BF=2-x、FC=BC-BF=4-（2-x）=2+x，從而得2+x=4-x，求得x的值，由勾股定理得出答案．

解答 解：如圖，作PF⊥BC于點(diǎn)F，延長(zhǎng)FP交AD于點(diǎn)E，

∵AD∥BC，
∴∠PFC=∠DEP=90°，
∴∠CPF+∠PCF=90°，
∵∠DPC=90°，
∴∠CPF+∠DPE=90°，
∴∠PCF=∠DPE，
在△PCF和△DPE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠PCF=∠DPE}\\{∠PFC=∠DEP}\\{PC=DP}\end{array}\right.$，
∴△PCF≌△DPE（AAS），
∴PF=DE、PE=CF，
設(shè)PF=DE=x，則PE=CF=4-x，
∵S_{四邊形ABCD}=$\frac{1}{2}$（AD+BC）•AB=12，
∴$\frac{1}{2}$×（AD+4）×4=12，解得AD=2，
∴AE=BF=2-x，
∴FC=BC-BF=4-（2-x）=2+x，
可得2+x=4-x，解得x=1，
∴BP=$\sqrt{B{F}^{2}+P{F}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、四邊形的面積及勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．