Question

4．[問題背景]
如圖1，∠ABC=60°，點(diǎn)D，E分別為射線BA和BC上的動(dòng)點(diǎn)，以DE為邊畫等邊△DEF，點(diǎn)O為△DEF的內(nèi)心，求∠ABO的度數(shù)．
[問題探究]
（1）當(dāng)點(diǎn)D和B重合時(shí)，∠ABO=30°；
（2）如圖2，過點(diǎn)E畫∠BEG=60°交BA于G，點(diǎn)P為△BEG的內(nèi)心．
①求證：△BDE∽△POE；
②求∠ABO的度數(shù)，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的內(nèi)心是三角形的內(nèi)角平分線的交點(diǎn)解答；
（2）①連接DO、BP，根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)和相似三角形的判定定理證明△BPE∽△DOE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{BE}{DE}$=$\frac{PE}{OE}$，證明△BDE∽△POE；
②根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠OPE=∠DBE=60°，證明點(diǎn)B、P、O在同一條直線上，根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)計(jì)算即可．

解答 解：（1）當(dāng)點(diǎn)D和B重合時(shí)，
∵點(diǎn)O為△DEF的內(nèi)心，
∴BO平分∠ABC，
∴∠ABO=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
故答案為：30；
（2）①連接DO、BP，
∵∠ABC=60°，∠BEG=60°，
∴△BEG是等邊三角形，
∵點(diǎn)P為△BEG的內(nèi)心，
∴∠PBE=∠PEB=30°，
∵點(diǎn)O為△DEF的內(nèi)心，
∴∠ODE=∠OED=30°，
∴△BPE∽△DOE，
∴$\frac{BE}{DE}$=$\frac{PE}{OE}$，
∵∠BED+∠DEG=∠FEG+∠DEG，
∴∠BED=∠FEG，
同理，∠PEO=∠FEG，
∴∠BED=∠PEO，又$\frac{BE}{DE}$=$\frac{PE}{OE}$，
∴△BDE∽△POE；
②∵△BDE∽△POE，
∴∠OPE=∠DBE=60°，
∴∠OPE+∠BPE=180°，即點(diǎn)B、P、O在同一條直線上，
∴OB平分∠ABC，
∴∠ABO=30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是內(nèi)心的概念和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形的內(nèi)心是三角形的內(nèi)接圓的圓心、靈活運(yùn)用相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．