Question

10．畫△ABC，使AB=8，AC=6，AD是BC邊上的中線，將△ADC繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°，并畫出圖形，量一量AD的長，想一想，AD的取值在什么范圍內(nèi)？由此歸納出三角形一邊上的中線的取值應(yīng)滿足什么條件，并解答．已知三角形的兩邊長分別為6和x，第三邊上的中線長為4，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AD=ED，BE=AC，所以當(dāng)AB=8，AC=6時(shí)，在△ABE中，AE=2AD，BE=AC=6，利用三角形三邊的關(guān)系得到8-6＜2AD＜8+6，再解不等式組即得到AD的取值范圍，由此歸納出三角形一邊上的中線的取值應(yīng)滿足的條件；若三角形的兩邊長分別為6和x，第三邊上的中線長為4，利用上述結(jié)論有：當(dāng)x≤6，則6-x＜2•4＜6+x；當(dāng)x＞6，則x-6＜2•4＜6+x，然后分別解不等式組，最后確定x的取值范圍．

解答 解：如圖，∵AD是BC邊上的中線，
∴BD=CD，
∴△ADC繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°得到△EDB，
∴AD=ED，BE=AC，
當(dāng)AB=8，AC=6時(shí)，
在△ABE中，AE=2AD，BE=AC=6，
∴8-6＜2AD＜8+6，
∴AD的取值范圍為1＜AD＜7，
由此歸納出三角形一邊上的中線的取值應(yīng)滿足的條件為：三角形一邊上的中線大于另兩邊差的一半小于另兩邊的和的一半；
若三角形的兩邊長分別為6和x，第三邊上的中線長為4，
當(dāng)x≤6，則6-x＜2•4＜6+x，解得2＜x≤6；
當(dāng)x＞6，則x-6＜2•4＜6+x，解得6＜x＜14，
所以x的范圍為2＜x＜14．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了作圖：旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對(duì)應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．也考查了三角形三邊的關(guān)系．