Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（-5，0），以O(shè)A為半徑作半圓，點(diǎn)C是第一象限內(nèi)圓周上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AC、BC，并延長(zhǎng)BC至點(diǎn)D，使CD=BC，過(guò)點(diǎn)D作x軸垂線，分別交x軸、直線AC于點(diǎn)E、F，點(diǎn)E為垂足，連結(jié)OF．
（1）當(dāng)∠BAC=30°時(shí)，求△ABC的面積；
（2）當(dāng)DE=8時(shí)，求線段EF的長(zhǎng)；
（3）在點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在以點(diǎn)E、O、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)圓周角定理求得∠ACB=90°，根據(jù)30°角的直角三角形的性質(zhì)求得BC，進(jìn)而根據(jù)勾股定理求得AC，然后根據(jù)三角形面積公式即可求得；
（2）連接AD，由垂直平分線的性質(zhì)得OD=OA=10，又DE=8，在Rt△ODE中，由勾股定理求AE，依題意證明△AEF∽△DEB，利用相似比求EF；
（3）存在．當(dāng)以點(diǎn)E、O、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，分為兩種情況：①當(dāng)交點(diǎn)E在O，B之間時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)E在O點(diǎn)的左側(cè)時(shí)；分別求E點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
在RT△ABC中，AB=10，∠BAC=30°，
∴BC=

1

2

AB=5，
∴AC=

AB2-BC2

=5

3

，
∴S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

×5

3

×5=

25 3

2

（2）連接AD，
∵∠ACB=90°，CD=BC，
∴AD=AB=10，
∵DE⊥AB，
∴AE=

AD2-DE2

=

102-82

=6，
∴BE=AB-AE=4，
∴DE=2BE，
∵∠DFC=∠DBE∠DFC=∠AFE，
∴∠AFE=∠DBE，
∵∠AEF=∠DEB=90°，
∴△AEF∽△DEB，
∴

AE

EF

=

DE

BE

=2，
∴EF=

1

2

AE=

1

2

×6=3；
（3）連接EC，設(shè)E（x，0），
當(dāng)

BC

的度數(shù)為60°時(shí)，點(diǎn)E恰好與原點(diǎn)O重合；
①0°＜

BC

的度數(shù)＜60°時(shí)，點(diǎn)E在O、B之間，∠EOF＞∠BAC=∠D，必須令∠EOF=∠EBD，此時(shí)有△EOF∽△EBD，
∴

OE

BE

=

OF

BD

，
∵EC是RT△BDE斜邊的中線，
∵CE=CB，
∴∠CEN=∠EBD，
∴∠EOF=∠CEB，
∴OF∥CE，
∴

AO

AE

=

OF

CE

=

2OF

BD

∴

AO

AE

=

2OE

BE

，即

5

5+x

=

2x

5-x

，
解得x=

-15±5 17

4

，因?yàn)閤＞0，
∴x

-15+5 17

4

，
②60°＜

BC

的度數(shù)＜90°時(shí)，點(diǎn)E在O點(diǎn)的左側(cè)，
若∠EOF=∠B，則OF∥BD，
∴OF=

1

2

BC=

1

4

BD，
∴

OF

BD

=

OE

BE

=

1

4

，即

-x

5-x

=

1

4

，解得x=-

5

3

，
若∠EOF=∠BAC，則x=-

5

2

，
綜上，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（

-15+5 17

4

，0）、（-

5

3

，0）、（-

5

2

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，圓周角定理，關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)基本條件，圖形的性質(zhì)，分類(lèi)求解．