Question

8．如圖1，四邊形ABCD為菱形，E為對角線AC上的一個動點(diǎn)，連接DE并延長交射線AB于點(diǎn)F，連接BE．
（1）求證：∠F=∠EBC；
（2）若∠DAB=90°，當(dāng)△BEF為等腰三角形時，求∠F的度數(shù)（如圖2）．

Answer 1

分析 （1）直接利用全等三角形的判定方法得出△DCE≌△BCE（SAS），即可得出答案；
（2）利用正方形的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得出：①當(dāng)F在AB延長線上時；②當(dāng)F在線段AB上時；分別求出即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴CD=AB，∠ACD=∠ACB，
在△DCE和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DC=CB}\\{∠DCE=∠BCE}\\{EC=EC}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△BCE（SAS），
∴∠CDE=∠CBE，
∵CD∥AB，
∴∠CDE=∠AFD，
∴∠EBC=∠AFD，即∠F=∠EBC；   
（2）解：分兩種情況：
①如圖1，當(dāng)F在AB延長線上時，

∵∠EBF為鈍角，
∴只能是BE=BF，
設(shè)∠BEF=∠BFE=x°，
可通過三角形內(nèi)角形為180°得：90+x+x+x=180，
解得：x=30，
∴∠EFB=30°；
②如圖2，當(dāng)F在線段AB上時，

∵∠EFB為鈍角，
∴只能是FE=FB，設(shè)∠BEF=∠EBF=x°，則有∠AFD=2x°，
可證得：∠AFD=∠FDC=∠CBE，
得x+2x=90，
解得：x=30，
∴∠EFB=120°．
綜上：∠F=30°或120°．

點(diǎn)評 此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．