Question

8．等邊△ABC，延長BC至D，使得CD=BC，M為BC一點，F(xiàn)為AM延長線一點，且∠AFD=60°，射線AC交DF于N，求證：AM=MN．

Answer 1

分析 作輔助線，構(gòu)建全等三角形，根據(jù)兩個三角形有兩個角分別相等，則第三個角相等，得∠BAM=∠FDM，證明△ABM≌△DCN，得BM=CN，根據(jù)等邊△MHC，證明△AHM≌△NCM，得出結(jié)論AM=MN．

解答 證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AC=BC=AB，
在△ABM和△FMD中，
∵∠ABC=∠AFD=60°，∠AMB=∠FMD，
∴∠BAM=∠FDM，
∵∠ABC=∠NCD=60°，DC=BC=AB，
∴△ABM≌△DCN，
∴BM=CN，
過M作MH∥AB，交AC于H，
∴∠HMC=∠ABC=60°，
∵∠ACB=60°，
∴∠MHC=60°，
∴△MHC是等邊三角形，
∴MC=MH=CH，
∵AC=BC，
∴AC-HC=BC-CM，
即AH=BM，
∴AH=CN，
∵∠AHM=180°-60°=120°，
∠MCN=180°-60°=120°，
∴∠AHM=∠MCN，
∴△AHM≌△NCM，
∴AM=MN．

點評 本題考查了等邊三角形和全等三角形的性質(zhì)和判定，作輔助線，構(gòu)建△AHM和△NCM，證明△AHM≌△NCM是關(guān)鍵，本題多次運用了等邊三角形的性質(zhì)：各邊相等且每個角為60°；為三角形全等創(chuàng)造條件，從而得出結(jié)論．