Question

先閱讀材料，再回答問題：
材料：分解因式：（x+y）²+2（x+y）+1
解：將“x+y”看成整體，令x+y=A，則原式=A²+2A+1=（A+1）²，再將“A”還原，原式=（x+y+1）²．上述解題中用到的是“整體思想”，整體思想是數(shù)學(xué)中常用的一種思想，你能用整體思想回答下列問題嗎？
問題：
（1）分解因式：（a+b）（a+b-4）+4．
（2）求證：若n為正整數(shù)，則代數(shù)式n（n+1）（n+2）（n+3）+1的值一定是某一個整數(shù)的平方．

Answer 1

考點(diǎn)：因式分解的應(yīng)用

專題：閱讀型,整體思想

分析：（1）令A(yù)=a+b，代入后因式分解后代入即可將原式因式分解；
（2）將原式轉(zhuǎn)化為[n（n+3）][（n+1）（n+2）]+1，進(jìn)一步整理為（n²+3n+1）²，根據(jù)n為正整數(shù)得到n²+3n+1也為正整數(shù)，從而說明原式是整數(shù)的平方．

解答：解：（1）令A(yù)=a+b，則原式變?yōu)锳（A-4）+4=A²-4A+4=（A-2）²，
故原式（a+b）（a+b-4）+4=（a+b-2）²；

（2）n（n+1）（n+2）（n+3）+1
=[n（n+3）][（n+1）（n+2）]+1
=（n²+3n）（n²+3n+2）+1
=（n²+3n）²+2（n²+3n）+1
=（n²+3n+1）²，
∵n為正整數(shù)，
∴n²+3n+1也為正整數(shù)，
∴代數(shù)式n（n+1）（n+2）（n+3）+1的值一定是某一個整數(shù)的平方．

點(diǎn)評：本題考查了因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)讀題，從新定義中整理出進(jìn)一步解題的有關(guān)知識，難度中等．