Question

如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為48cm，∠A=60°，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著線路AB-BD做勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D同時(shí)出發(fā)，沿著線路DC-CB-BA做勻速運(yùn)動(dòng)．
（1）求BD的長(zhǎng)；
（2）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的速度分別為8cm/s、10cm/s．經(jīng)過(guò)12秒后，P、Q分別到達(dá)M、N兩點(diǎn)，試判斷△AMN的形狀，并說(shuō)明理由，同時(shí)求出△AMN的面積；
（3）設(shè)問(wèn)題（2）中的動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從M、N同時(shí)沿原路返回，動(dòng)點(diǎn)P的速度不變，動(dòng)點(diǎn)Q的速度改變?yōu)閍 cm/s，經(jīng)過(guò)3秒后，P、Q分別到達(dá)E、F兩點(diǎn)，若△BEF為直角三角形，試求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專(zhuān)題：綜合題

分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得AB=BC=CD=AD=48，加上∠A=60°，于是可判斷△ABD是等邊三角形，所以BD=AB=48；
（2）如圖1，根據(jù)速度公式得到12秒后點(diǎn)P走過(guò)的路程為96cm，則點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D，即點(diǎn)M與D點(diǎn)重合，12秒后點(diǎn)Q走過(guò)的路程為120cm，而B(niǎo)C+CD=96，易得點(diǎn)Q到達(dá)AB的中點(diǎn)，即點(diǎn)N為AB的中點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得MN⊥AB，即△AMN為直角三角形，然后根據(jù)等邊三角形面積可計(jì)算出S_△AMN=288

3

cm²；
（3）由△ABD為等邊三角形得∠ABD=60°，根據(jù)速度公式得經(jīng)過(guò)3秒后點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為24cm、點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路程為3acm，所以BE=DE=24cm，
然后分類(lèi)討論：當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)，且點(diǎn)F在NB上，如圖1，則NF=3a，BF=BN-NF=24-3a，由于△BEF為直角三角形，而∠FBE=60°，只能得到∠EFB=90°，所以∠FEB=30°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得24-3a=

1

2

×24，解得a=4；當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)，且點(diǎn)F在BC上，如圖2，則NF=3a，BF=BN-NF=3a-24，由于△BEF為直角三角形，而∠FBE=60°，若∠EFB=90°，則∠FEB=30°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得3a-24=

1

2

×24，解得a=12；若∠EFB=90°，易得此時(shí)點(diǎn)F在點(diǎn)C處，則3a=24+48，解得a=24．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=48，
∵∠A=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴BD=AB=48，
即BD的長(zhǎng)是48cm；
（2）如圖1，12秒后點(diǎn)P走過(guò)的路程為8×12=96，則12秒后點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D，即點(diǎn)M與D點(diǎn)重合，
12秒后點(diǎn)Q走過(guò)的路程為10×12=120，而B(niǎo)C+CD=96，所以點(diǎn)Q到B點(diǎn)的距離為120-96=24，則點(diǎn)Q到達(dá)AB的中點(diǎn)，即點(diǎn)N為AB的中點(diǎn)，
∵△ABD是等邊三角形，而MN為中線，
∴MN⊥AB，
∴△AMN為直角三角形，
∴S_△AMN=

1

2

S_△ABD=

1

2

×

3

4

×48²=288

3

（cm²）；
（3）∵△ABD為等邊三角形，
∴∠ABD=60°，
經(jīng)過(guò)3秒后，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為24cm、點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路程為3acm，
∵點(diǎn)P從點(diǎn)M開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，即DE=24cm，
∴點(diǎn)E為DB的中點(diǎn)，即BE=DE=24cm，
當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)，且點(diǎn)F在NB上，如圖1，則NF=3a，
∴BF=BN-NF=24-3a，
∵△BEF為直角三角形，
而∠FBE=60°，
∴∠EFB=90°（∠FEB不能為90°，否則點(diǎn)F在點(diǎn)A的位置），
∴∠FEB=30°，
∴BF=

1

2

BE，
∴24-3a=

1

2

×24，
∴a=4；
當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)，且點(diǎn)F在BC上，如圖2，則NF=3a，
∴BF=BN-NF=3a-24，
∵△BEF為直角三角形，
而∠FBE=60°，
若∠EFB=90°，則∠FEB=30°，
∴BF=

1

2

BE，
∴3a-24=

1

2

×24，
∴a=12；
若∠EFB=90°，即FB⊥BD，
而DE=BE，
∴點(diǎn)F在BD的垂直平分線上，
∴此時(shí)點(diǎn)F在點(diǎn)C處，
∴3a=24+48，
∴a=24，
綜上所述，若△BEF為直角三角形，a的值為4或12或24．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系計(jì)算幾何計(jì)算；能運(yùn)用分類(lèi)討論的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．