Question

淮安華宇公司獲得授權(quán)生產(chǎn)某種奧運(yùn)紀(jì)念品，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查分析，該紀(jì)念品的銷售量y₁（萬(wàn)件）與紀(jì)念品的價(jià)格x（元/件）之間的函數(shù)圖象如圖，該公司紀(jì)念品的生產(chǎn)數(shù)量y₂（萬(wàn)件）與紀(jì)念品的價(jià)格x（元/件）近似滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)₂=-

3

2

x+85，若每件紀(jì)念品的價(jià)格不小于20元，且不大于40元．
請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
（1）求y₁與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（2）若每件紀(jì)念品的成本為15元，則價(jià)格應(yīng)定為多少元時(shí)，能獲得最大利潤(rùn)？并求出此時(shí)的最大利潤(rùn)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：

分析：（1）此函數(shù)為分段函數(shù)，所以要按照自變量的取值范圍來(lái)不同對(duì)待，可根據(jù)圖中的信息運(yùn)用待定系數(shù)法求出函數(shù)的關(guān)系式；
（2）根據(jù)（1）中的函數(shù)關(guān)系式以及自變量的取值范圍的不同分別根據(jù)利潤(rùn)=每一件的銷售利潤(rùn)×銷售件數(shù)列出函數(shù)解析式，利用性質(zhì)探討答案即可．

解答：解：（1）當(dāng)20≤x≤36時(shí)，
設(shè)y₁與x的函數(shù)解析式為：y=kx+b，將點(diǎn)A（20，60）、B（36，28）代入y=kx+b得：

60=20k+b 28=36k+b

．
解得：

k=-2 b=100

，
∴y₁與x的函數(shù)關(guān)系式為：y₁=-2x+100；
當(dāng)36≤x≤40時(shí)，
y₁=28．
（2）設(shè)銷售總利潤(rùn)為W，
當(dāng)20≤x≤36時(shí)，
W=（-2x+100）（x-15）=-2x²+130x-1500=-2（x-

65

2

）²+612.5；
當(dāng)x=32.5時(shí)，y最大值為612.5；
當(dāng)36≤x≤40時(shí)，
W=（-

3

2

x+85）（x-15）=-

3

2

x²+

215

2

x-1245，
a＜0，
當(dāng)36≤x≤40，y隨著x的增大而減小，所以當(dāng)x=36時(shí)，y最大為651．
因此價(jià)格應(yīng)定為36元時(shí)，能獲得最大利潤(rùn)，此時(shí)的最大利潤(rùn)是651萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：此題考查二次函數(shù)的實(shí)際運(yùn)用，借助函數(shù)圖象表達(dá)題目中的信息，讀懂圖象是關(guān)鍵．本題要注意分段函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用．