Question

11．如圖，正方形ABOC，點(diǎn)M、N分別在AB、AC上．
（1）若∠NMO=∠MOC，問(wèn)△AMN的周長(zhǎng)是否變化？若不是，請(qǐng)求其值；
（2）若點(diǎn)M在AB延長(zhǎng)線上，點(diǎn)N在CA的延長(zhǎng)線上，其它條件不變，問(wèn)CN、MN、BM三者存在怎樣的關(guān)系，試證明．

Answer 1

分析 （1）先過(guò)O作OG⊥MN于G，連接ON，判定△OMB≌△OMG﹙AAS﹚，再判定Rt△ONG≌Rt△ONC﹙HL），即可得出CN=NG，進(jìn)而得到△AMN的周長(zhǎng)=AM+MN+NA=AB+AC；
（2）先過(guò)點(diǎn)O作OG⊥MN于G，連接ON，判定△OMB≌△OMG﹙AAS﹚，再判定△ONG≌△ONC﹙HL﹚，得出CN=NG，再根據(jù)NG=MN+MG，即可得到CN=MN+BM．

解答 解：（1）△AMN的周長(zhǎng)不變．
如圖①，過(guò)O作OG⊥MN于G，連接ON，則∠MGO=∠MBO=90°，
∵∠NMO=∠MOC，∠BMO=∠MOC，
∴∠BMO=∠OMG，
在△OMB和△OMG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MGO=∠MBO}\\{∠BMO=∠OMG}\\{OM=OM}\end{array}\right.$，
∴△OMB≌△OMG﹙AAS﹚，
∴MB=MG，OB=OG，
∵OB=OC，
∴OG=OC，
又∵ON=ON，
∴Rt△ONG≌Rt△ONC﹙HL），
∴CN=NG，
∴△AMN的周長(zhǎng)=AM+MN+NA=AB+AC=8（定值）；

（2）CN=MN+BM．
如圖②，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥MN于G，連接ON，則∠MGO=∠MBO=90°，
∵AB∥CO，∠NMO=∠MOC，
∴∠BMO=180°-∠MOC=180°-∠OMN=∠OMG，
在△OMB和△OMG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MGO=∠MBO}\\{∠BMO=∠OMG}\\{OM=OM}\end{array}\right.$，
∴△OMB≌△OMG﹙AAS﹚，
∴MB=MG，OB=OG，
又∵OB=OC，
∴OG=OC，
又∵ON=ON，
∴Rt△ONG≌Rt△ONC﹙HL﹚，
∴CN=NG，
又∵NG=MN+MG，
∴CN=MN+BM．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，解題時(shí)注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．